§ 9. Почленное интегрирование функциональных рядов
Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся последовательностей непосредственно приводят к теоремам о почленном дифференцирований и интегрировании равномерно сходящихся рядов.
Теорема (о почленном интегрировании рядов). Если функциональный ряд
сходится равномерно на некотором сегменте 
и имеет суммой функцию 
то функциональный (относительно
переменной 
ряд интегралов
(здесь, как и раньше, 
также сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию
Доказательство. Пусть 
частичная сумма ряда (5.40). Тогда
будет, очевидно, 
частичной суммой ряда (5.41).
По условию теоремы последовательность
частичных сумм ряда (5.40) сходится на сегменте 
равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом (следствие из § 5) последовательность интегралов
также сходится равномерно и имеет пределом
Но ввиду (5.42) интегралы (5.43) являются частичными суммами ряда (5.41). Тем самым доказаны равномерная сходимость ряда (5.41) и равенство его суммы интегралу (5.44).
Переход от ряда (5.40) и его суммы к ряду (5.41) и его сумме называется почленным интегрированием ряда.
Примеры.
1. Функциональный ряд
сходится равномерно при 
, как легко видеть (наш ряд является геометрической прогрессией), сумма его равна
Следовательно, получаемый почленным интегрированием ряда (5.45) от 0 до 
ряд
также равномерно сходится при 
и его сумма равна
В качестве второго примера почленного интегрирования ряда можно вспомнить выведенную в § 6 главы 1 формулу
2. Как видно из примера § 4, последовательность
сходится к своей предельной функции неравномерно (вблизи точки 
Поэтому применительно к ряду
теорема о почленном интегрировании выполняться не обязана. И действительно, почленное интегрирование ряда (5.46) дает
и предел этого интеграла при возрастании 
равен единице. Вместе с тем интеграл от суммы ряда (5.46), являющийся в соответствии с (5.25) тождественным нулем, равен нулю.
Равномерная сходимость ряда в промежутке является достаточным, но отнюдь не необходимым условием его почленной интегрируемости.
Пример. Ввиду неравномерной сходимости вблизи 
последовательности
(см. § 4) правомерность почленного интегрирования ряда
может оспариваться. Тем не менее фактически это интегрирование в данном случае к ошибке не приводит; так как при любом 
и
что совпадает с
