§ 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье

Определение. Функция называется кусочно монотонной на сегменте если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов

в каждом из которых функция монотонна.

Если функция кусочно монотонна на сегменте то в любой внутренней точке этого сегмента существуют правые и левые пределы ее значений, т. е. пределы

Теорема. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента .

Если — сумма тригонометрического ряда Фурье функции то во всех точках непрерывности этой функции

а во всех точках разрыва

Кроме того,

Условия этой теоремы часто называются условиями Дирихле, а сама теорема — теоремой Дирихле. Доказательство теоремы Дирихле выходит за пределы основного курса и помещено в главе 16.

Подчеркнем, что условия Дирихле включают как кусочную непрерывность, так и кусочную монотонность функции и ни от одного из этих свойств отказаться нельзя. В частности, известны примеры непрерывных функций, которые не описываются своим рядом Фурье.

Из теоремы Дирихле видно, что значения функции в точках ее разрыва не влияют на ее ряд Фурье

Это значит, что функции, имеющие одни и те же точки разрыва и отличающиеся друг от друга лишь в этих точках, разлагаются в один и тот же ряд Фурье.

Далее, говорить о непрерывности функции на концах сегмента , т. е., в точках , вообще не имеет смысла, даже если выполняются предельные соотношения . В самом деле, для непрерывности функции в точке необходимо двойное равенство

Но выражение характеризует поведение функции справа от точки , т. е. там, где эта функция, быть может, и не определена. То же справедливо и для выражения Поэтому в теореме Дирихле концы сегмента играют особую роль, сходную с ролью точек разрыва.