§ 4. Принцип сходимости Коши

Напомним одну важную, но довольно деликатную теорему из теории пределов, называемую принципом сходимости Коши.

Теорема. Если

— некоторая числовая последовательность, то для того, чтобы она сходилась к некоторому конечному пределу необходимо и достаточно, чтобы по любому нашлось такое что для любого

Доказательство. Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, пусть последовательность (2.6) имеет конечный предел Это, в частности, означает, что для любого найдется такое что

и при любом большем номере, чем т. е. при любом номере вида аналогичное неравенство также будет иметь место:

Складывая (2.8) и (2.9), мы получаем

т. e. требуемое неравенство (2.7).

Достаточность оказывается фактом, существенно более сложным (доказательство проводится здесь для случая вещественной последовательности; доказательство в комплексном случае отличается лишь малосущественными деталями).

Пусть по любому найдется такое что для всех выполняется неравенство (2.7). Это значит, что все члены последовательности (2.6), за исключением, быть

может, тех, которые предшествуют попадут в сегмент

Значит, последовательность (2.6) оказывается ограниченной. Поэтому в ней найдется подпоследовательность, сходящаяся к некоторому пределу

В целях полноты изложения приведем доказательство этого факта. Обозначим сегмент (2.10) через Он содержит бесконечно много членов последовательности (2.6). Разобьем этот сегмент на две половины:

выберем ту из них, в которой окажется бесконечно много членов последовательности (2.6), обозначим ее через и снова разделим пополам. Будем продолжать такой процесс деления отрезка пополам и выбора половины, содержащей бесконечное число членов последовательности (2.6), неопределенно долго.

В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга сегментов

Каждый из этих сегментов содержит бесконечно много членов последовательности (2.6). Поэтому из каждого сегмента можно выбрать член последовательности так, чтобы выбираемые члены имели различные номера.

Очевидно,

Значит, последовательность чисел

монотонно неубывающая и ограничена сверху. Поэтому она имеет предел По аналогичным причинам существует предел . Далее, очевидно,

т.е.

Обозначим этот общий предел через

Наконец, по выбору для любого

При неограниченном возрастании крайние члены этого неравенства стремятся к общему пределу Следовательно, также существует и равен

Допустим теперь, что в последовательности (2.6) найдутся две подпоследовательности,

сходящиеся к различным пределам и

Возьмем

и найдем на основании условия теоремы такое что при всех

Кроме того, найдем на основании определения предела такие что при любом

а при любом

Эти неравенства справедливы при всех достаточно больших номерах Поэтому среди этих номеров найдутся и такие, которые более, чем Возьмем Мы имеем

Кроме того, полагая в мы получаем

Объединение последних четырех неравенств дает нам

что противоречит предположенному.