ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
§ 1. Расходящиеся геометрические прогрессии
В предыдущих главах достаточно явно подчеркивалась необходимость соблюдать при операциях над рядами некоторые предосторожности. Например, умножение рядов нуждалось в проверке их абсолютной сходимости, почленное интегрирование —в равномерной сходимости и т. п. Вместе с тем эти условия не всегда оказываются математически необходимыми, т. е. иногда можно допускать выходы за пределы дозволенного и при этом не совершать ошибок. Фактически это означает возможность получать на том или ином этапе рассуждений расходящиеся ряды, проводить с ними некоторые преобразования и возвращаться в область сходящихся рядов, обогатившись нужной количественной информацией. Ясно, что для этого надо уметь обращаться с расходящимися рядами и по крайней мере с теми из них, которые сохраняют и в самой расходимости оттенок сходимости.
В § 1 главы 1 и в § 2 главы 2 говорилось о возможности различных истолкований понятия «суммы бесконечного ряда». По существу, если для определенности говорить пока только о числовых рядах, суммирование каждого ряда есть некоторый прием, позволяющий бесконечной последовательности чисел, являющихся членами ряда, ставить в соответствие некоторое число, называемое его суммой. Этот прием должен быть достаточно единообразным и плодотворным. Чтобы оправдать название «суммирования», связь между членами ряда, с одной стороны, и его «суммой», с другой, должна обладать хотя бы некоторыми свойствами той связи, которая имеет место между конечными наборами слагаемых и их обычными суммами.
Одним из таких приемов оказывается переход от последовательностей чисел к пределам их частичных сумм.
Именно он и рассматривался в качестве суммирования во всех предшествующих главах книги. Однако только что описанные весьма скромные требования к «суммированию» дадут нам возможность и других вариантов понимания этой операции. В частности, окажется целесообразным приписывать определенные значения «суммы» тем или иным расходящимся рядам.
Начнем, как и в главе 1, с рассмотрения (теперь уже, возможно, и расходящихся) геометрических прогрессий. Пусть нам дана прогрессия
Поставим вопрос о том, какой может быть сумма прогрессии (15.1); иными словами, чему она должна быть равна, если только она существует (или, в более осторожной форме, чему она должна была бы быть равна, если бы она существовала). Обозначим эту гипотетическую сумму ряда (15.1) через 
Естественно считать законным преобразование
так что
Далее, очевидно, что
Складывая почленно (15.2) и (15.3) (и считая такую операцию также законной), мы получим
т. е.
откуда получаем
Мы видим, что аналитическое выражение для суммы ряда (15.1) в случае его расходимости (т. е. при 
совпадает с таковым для случая, когда он сходится. Это означает, что проводимые нами рассуждения не противоречат обычной практике суммирования сходящихся геометрических прогрессий. В частности, полагая в (15.4)
мы получаем
а в случае 
мы имеем
Здесь «суммы» рядов с целыми членами оказываются дробными числами. Не следует, однако, усматривать в этом каких-либо противоречий ни со здравым смыслом, ни с законами арифметики. В самом деле, сумма любого конечного числа целых слагаемых должна быть целой; но здесь это никак и не оспаривается. Ясно также, что множество всех целых чисел является замкнутым, и потому предел всякой последовательности целых чисел (частичных сумм ряда с целыми членами) также должен быть целым числом. Но ведь в наших рассуждениях 
не есть предел последовательности частичных сумм! Такого предела в рассматриваемом нами случае вообще не существует; 
— это всего лишь некоторое число, функционально зависящее от ряда (15.1). От этой функциональной зависимости требуется лишь соблюдение некоторых свойств типа линейности: при умножении каждого из членов ряда на некоторое число его «сумма» умножается на это же число, а при почленном сложении двух рядов складываются и их «суммы». Кроме того, мы допустили, что если все члены ряда, кроме одного, суть нули, то «сумма» ряда равна этому единственному отличному от нуля числу. В этих условиях ничто не мешает «сумме» ряда с целыми членами быть и нецелой.
Сходные рассуждения можно провести по поводу того соображения, что в ряде (15.5) за каждым положительным членом следует больший по абсолютной величине отрицательный член и тем не менее «сумма» ряда оказывается положительной.
Положив, наконец, 
мы согласно (15.4) получим
что совсем уже удивительно.
Весьма выразительно высказывается Эйлер. «Я полагаю, что каждый ряд должен обладать определенным значением. Однако чтобы справиться со всеми возникающими здесь трудностями, следовало бы это значение не
именовать суммой, поскольку с этим словом обычно связывают такое понятие, как если бы эта сумма получалась в результате действительного суммирования, а эта идея для расходящихся рядов не имеет места».
