ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Признаки сходимости рядов
Существует довольно много примеров, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Все эти приемы называются признаками сходимости. В настоящее время известно большое число различных признаков сходимости рядов. С некоторыми из них мы уже успели познакомиться. Так, например, сходимость ряда можно установить, составив последовательность его частичных сумм и выяснив, имеет ли эта последовательность конечный предел. Этот прием, очевидно, является необходимым и достаточным признаком сходимости рядов. Другим необходимым и достаточным признаком сходимости является критерий Коши (см. § 5 главы 2). Стремление к нулю члена ряда по мере роста его номера также является признаком сходимости ряда, уже только необходимым, но не достаточным (см. § 6 главы 2).
К числу признаков сходимости можно отнести также всякого рода теоремы, позволяющие сводить выяснение вопроса о сходимости некоторого данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который устроен более просто или хотя бы более знакомый.
Эти теоремы обычно состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого уже выяснено. Поэтому они называются признаками сравнения. По существу, все рассматриваемые в этой главе признаки сходимости являются такими признаками сравнения. В некоторых из них производится сравнение исследуемого ряда с конкретными стандартными рядами (например, с геометрическими прогрессиями). В этих случаях «сравнительная» природа признака внешне затушевывается, но, разумеется, не пропадает.
Подчеркнем, что в данной главе будут рассматриваться только ряды с положительными членами. Это обстоятельство каждый раз специально оговариваться не будет.
