§ 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки

Пусть балка находится под действием вертикальной нагрузки, распределенной по ее длине с плотностью (рис. 34).

Рис. 34.

Мы будем решать эту задачу способом наложения.

Обозначим через изгибающий момент, порожденный в балке элементарной сосредоточенной силой приложенной в точке и напишем интегральный аналог формулы (17.31):

Формула (17.22) дает нам

где, в соответствии с формулой (17.27),

Значит,

Стоящий здесь справа ряд можно понимать как функциональный ряд относительной переменной с. Согласно признаку Вейерштрасса он сходится равномерно, и потому его можно почленно интегрировать:

Для перехода от разложения в ряд Фурье момента к разложению в ряд Фурье функции прогиба нам остается, в соответствии с формулой (17.23), умножить коэффициент ряда (17.33) на В итоге мы получим

Разумеется, как и в предыдущем параграфе, мы могли бы применять метод наложения не к моменту, а непосредственно к прогибам, беря в (17.29) вместо Р элементарную силу и интегрируя ряд почленно по с.

Пример. Рассмотрим распределенную нагрузку, описанную в примере из § 3. Для нее

при .

На основании сказанного в § 10 главы 9 (переходя от сегмента к сегменту имеем

где

Учитывая вид описываемой в (17.35) функции мы получим

Подстановка в (17.34) дает нам

или

Дифференцируя по x, мы получаем выражение для тангенса угла поворота сечения балки (который ввиду ее жесткости можно

отождествлять с самим углом):

В частности, если т. е. если равномерная нагрузка распределена по всей длине балки, то мы получим

и