§ 3. Остаток ряда

Пусть дан ряд

Определение. Ряд

называется остатком ряда (2.4).

Очевивно, частичная сумма остатка ряда равна разности частичных сумм самого ряда. Кроме того, мы имеем откуда, переходя к пределу по при

Предел слева есть сумма исходного ряда, а предел справа —сумма гл его остатка. Ясно, что из существования предела в левой части этого равенства следует существование предела в правой его части и наоборот. Поэтому если сходится один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Точно так же из сходимости ряда следует сходимость каждого его остатка.

Из формулы (2.5) видно, что частичная сумма сходящегося ряда отличается от его суммы на величину суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка ряда, тем точнее описывает соответствующая частичная сумма ряда сумму всего ряда.

Теорема. Если ряд (2.4) сходится, то сумма его остатка с ростом стремится к нулю. Доказательство. Мы видели, что

Так как это равенство справедливо для любого мы можем перейти в нем по к пределу:

Но для сходящегося ряда откуда следует, что