§ 3. Интеграл Фурье для четных функций
Заметим, прежде всего, что при любом а
так что
Следовательно, если функция 
абсолютно интегрируема на бесконечном промежутке 
то несобственный интеграл
существует. В силу аналогичных причин существует при любом а и несобственный интеграл
Вспоминая, что
перепишем формулу (11.6) в следующем виде:
Предположим теперь, что функция 
четная. Тогда четными должны быть все функции вида 
и нечетными — все функции вида 
Следовательно, в этом случае все несобственные интегралы (11.10) обращаются в нуль, а для каждого из несобственных интегралов (11.9) мы можем написать
Таким образом, в случае четной функции 
формула (11.11) может быть переписана как
Пример. Разложить в интеграл Фурье четную функцию 
где
(график функции 
см. на рис. 14).
То, что функция 
ограничена, абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке и удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном сегменте, видно непосредственно.
Рис. 14.
Следовательно, требуемое разложение в интеграл Фурье существует. Для его нахождения вычислим
Таким образом, искомым разложением является
Эта формула справедлива для всех значений х, за исключением 
этих двух исключительных точках интеграл Фурье принимает значение, равное 1/2.
