§ 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю

Суммирование по Чезаро в известном смысле «слабее» суммирования по Пуассону — Абелю. Точный смысл этого утверждения содержится в формулировке следующей теоремы:

Теорема. Если ряд суммируем по Чезаро, то он суммируем и по Пуассону — Абелю, и

Доказательство. Пусть ряд суммируем по Чезаро и имеет в этом смысле сумму На основании теоремы § 7 отсюда следует, что

Это в свою очередь значит, что при любом начиная с некоторого места, будет Далее, ряд

сходится при любом как в том можно убедиться, применяя, например, признак сходимости Даламбера. Следовательно, при любом сходится и ряд

Но (положим условно

и, повторяя этот ход рассуждений еще раз, получим

Рассмотрим теперь ряд

и умножим его на себя. Мы получим

т. е.

Вместе с (15.32) это дает нам

При любом натуральном стоящую справа сумму можно разбить на две части: одну, охватывающую все слагаемые для от 0 до и другую, содержащую все остальные слагаемые:

Выберем таким, чтобы при любом было

Тогда при любом мы получим (увеличивая, если надо, еще больше)

Кроме того, зафиксировав и выбирая х достаточно близким к единице, мы можем добиться того, чтобы было

Из (15.33), (15.34) и (15.35) следует, что

т. е. , а это и требовалось.

Обращение этой теоремы не имеет места: существуют ряды, суммируемые по Пуассону — Абелю, но не суммируемые по Чезаро. Так, ряд

суммируем по Пуассону — Абелю (см. пример 2 из § 3), но не суммируем по Чезаро (см. пример 2 из § 7).

Из доказанной теоремы следует, что всякая тауберова теорема для суммируемости по Пуассону — Абелю должна естественным образом порождать соответствующую тауберову теорему и для суммируемости по Чезаро. В самом деле, пусть некоторые условия обеспечивают для любого суммируемого по Пуассону — Абелю ряда его сходимость. Тогда, если какой-либо ряд суммируем по Чезаро, то на основании только что доказанной теоремы он суммируем (и имеет ту же сумму) и по Пуассону — Абелю, и взятые условия гарантируют его сходимость (к той же сумме).