§ 16. Общий случай изгиба балки

Вернемся к изгибу свободно опертой балки, лежащей на упругом основании, описанному в § 10. В целях краткости изложения мы ограничимся рассмотрением наиболее общего случая изгиба, считая, что на балку действуют разнообразные поперечные нагрузки, а также приложенные к концам продольные силы (рис. 41).

Рис. 41.

Будем по-прежнему искать функцию прогиба этой балки в виде ее разложения

причем коэффициенты будем находить из уравнения (17.81).

Примем для определенности, что поперечная нагрузка на балку состоит из сосредоточенных сил приложенных в точках моментов приложенных в точках и распределенной нагрузки с интенсивностью в каждой точке х.

Пусть продольная нагрузка состоит из сжимающих сил приложенных к концам балки. Коэффициент упругости основания примем равным а реактивную нагрузку на балку со стороны упругого основания обозначим через

Подсчитаем работу всех внешних сил на перемещениях, соответствующих прогибу .

Работа сосредоточенных сил как уже было выяснено в предыдущем параграфе, равна

Работа моментов равна сумме произведений величин этих моментов на углы поворота соответствующих поперечных сечений балки в точках т. е.

Работу распределенной нагрузки можно получить интегрированием по х работы элементарной силы приложенной в точке х балки:

Аналогично, работа сил реакции упругого основания есть

Знак модуля выражает здесь то обстоятельство, что упругое основание поглощает энергию, т. е. совершает «отрицательную» работу независимо от смещения точек балки вверх или вниз, т. е. независимо от знака

Наконец, работа продольных сил в соответствии с формулой (17.88) равна

Таким образом, формула (17.81) может быть записана в нашем случае как