§ 3. Суммирование по Пуассону — Абелю
Определение. Если суммирующая функция 
определяется равенством
то такое суммирование называется суммированием по Пуассону — Абелю.
Примеры.
1. Для ряда
суммирование по Пуассону—Абелю дает
2. Возьмем ряд 
Для него
Но при любом х, близком к 1 и меньшем 
стоящий под знаком предела ряд сходится, и в соответствии с теоремой 5 § 8 главы 2 мы можем написать
Суммируя стоящие справа ряды (первый есть геометрическая прогрессия, с которой мы имели дело в предыдущем примере, а сумму второго можно найти при помощи формулы (1.24) из § 7 главы 1), мы получаем
3. Рассмотрим теперь ряд
Здесь предел 
созлб не существует, так что согласно необходимому признаку сходимости ряда (см. главу 2, § 6) ряд (15.7) расходится.
Просуммируем этот ряд по Пуассону — Абелю. Возьмем с этой целью произвольное х с 1, рассмотрим ряд
и составим ряд модулей членов этого ряда:
Признак сходимости Коши (см. § 7 главы 3) дает нам, что
так что последний ряд сходится Это значит, что ряд (15.8) сходится абсолютно, а потому — сходится. Найдем его сумму.
Заметим, что 
есть вещественная часть комплексного числа 
Поэтому
есть вещественная часть выражения
или, суммируя имеющуюся геометрическую прогрессию, получаем
Умножение числителя и знаменателя этой дроби на комплексное число, сопряженное знаменателю, дает нам
После очевидных вычислений (ср. § 8 главы 1) оказывается, что вещественная часть этого выражения равна
Таким образом (подчеркнем, что мы предполагаем 
4. Рассмотрение ряда
проводится аналогично тому, как это делалось в предыдущем примере. Здесь вводится степенной ряд
который при 
сходится, и его сумма, как видно из рассуждений в предыдущем примере, равна мнимой части выражения (15.9), т. е.
Значит,
5. Для ряда 
при 
и при 
мы имеем
так что прогрессия со знаменателем, большим единицы, расходится и по Пуассону — Абелю. Следовательно, формулы (15.5) и (15.6) не имеют смысла не только с точки зрения обычной сходимости, но и с точки зрения сходимости по Пуассону—Абелю. Вместе с тем они поддаются истолкованию с точки зрения более широких принципов суммирования. Так, формула (15.5) имеет смысл с точки зрения суммирования по Эйлеру, которое будег рассмотрено в § 9.
