§ 8. Статически неопределимая балка
Разложение в ряд Фурье функций прогиба и углов поворота изогнутой балки позволяет рассматривать и статически неопределимые задачи. Общий подход здесь не отличается в принципе от обычного. Именно, «лишние»
реакции опор рассматриваются как неизвестные внешние силы, которые вместе с известной нагрузкой осуществляют прогиб, удовлетворяющий кинематическим условиям, вытекающим из особенностей опор. Эти условия записываются в виде уравнений относительно неизвестных реакций. Особенностью рассматриваемого здесь приема являются специфические (в виде рядов Фурье) представления функций прогиба и угла поворота.
Рис. 37.
Для иллюстрации сказанного ограничимся примером балки длины 
жестко заделанной левым концом, свободно опертой правым и находящейся под воздействием равномерно распределенной по всей длине балки нагрузки 
(рис. 37).
Если бы эта балка была свободно оперта на обе опоры, то согласно (17.39) (где следует положить 
угол ее поворота в точке 
под воздействием нагрузки 
был бы равен
Если, далее, в точке 
к этой балке приложить сосредоточенный изгибающий момент М, то угол поворота от такого момента в точке 
ввиду (17.43) должен быть равен
Условие жесткой заделки левого конца балки означает, что
Вместе с (17.44) и (17.45) это дает нам
Вступив при изучении изгиба балок на путь использования теории рядов, естественно применять различные известные в этой теории формулы и соотношения. Например, в примере из § 11 главы 9 была вычислена сумма стоящего в знаменателе ряда. Она оказалась равной 
Поэтому (17.46) можно переписать как
Можно, просуммировав оставшийся здесь ряд, найти, что
Тогда окажется, что
что, как известно, является точным решением задачи.
Можно, наоборот, действуя классическими методами сопротивления материалов, получить формулу (17.49) непосредственно, и тогда (17.47) даст нам формулу (17.48) для суммы ряда. Здесь представляется любопытной логическая эквивалентность формул (17.48) и (17.49) в предположении, что установлена формула (17.47).
Искомая функция прогиба получается теперь путем сложения функций прогиба свободно опертой балки, загруженной в одном случае равномерно распределенной нагрузкой 
а в другом — моментом М, приложенным к ее левому концу. Для этого надо сложить 
из формулы (17.34), положив в ней 
из формулы (17.41), положив в ней 
. В итоге мы получим
