§ 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов

При помощи разложений функций в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения. Не вдаваясь здесь в сложные теоретические соображения и не касаясь многочисленных практических приемов, мы ограничимся лишь одним примером.

Пример. Найти решение уравнения

при начальных условиях

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного относительно х ряда

При наших начальных условиях

Дифференцируя этот ряд дважды, мы получаем

а умножая этот же ряд на х, мы имеем

Приравнивание коэффициентов членов рядов (7.38) и (7.39) с одинаковыми степенями х дает нам

Нетрудно увидеть, что здесь оказывается

Иными словами, в ряде (7.37)

а остальные коэффициенты этого ряда обращаются в нуль.

Таким образом, мы получаем ряд

Этот ряд сходится при любом значении х. В самом деле, применение признака сходимости Даламбера дает нам

и с ростом это отношение стремится к нулю при любом х.

Обозначим через сумму ряда (7.40). Согласно сказанному в § 6 главы 6 сумма ряда

полученного двукратным почленным дифференцированием ряда (7.40), равна . С другой стороны, каждый член ряда (7.41) равен соответствующему члену ряда (7.40), умноженному на х. Следовательно, сумма ряда (7.41) равна .

Таким образом, мы видим, что сумма ряда (7.40) удовлетворяет дифференциальному уравнению

т. е. дифференциальному уравнению (7.35). Кроме того, очевидно,

Однако существует лишь одна функция, удовлетворяющая уравнению (7.36) и начальным условиям (7.42). Поэтому