§ 4. Применения интегрального признака сходимости
Достоинство интегрального признака сходимости Маклорена — Коши состоит 
исключительно высокой его чувствительности. Этот признак четко проводит различие между сходящимся и расходящимся рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого.
Примеры.
1. В качестве первого применения интегрального признака сходимости возьмем геометрическую прогрессию
с положительным знаменателем,
Рассмотрим функцию 
и соответствующий ей интеграл
При 
мы имеем
Поэтому
Если 
то 
несобственный интеграл 
дится, а потому сходится и прогрессия.
Если 
то 
с ростом 
неограниченно возрастает, интеграл (3.29) расходится, так что расходится и прогрессия.
Наконец, если 
то в интегральном признаке следует положить 
и мы получаем
При 
этот интеграл, очевидно, расходится, а вместе с ним расходится и прогрессия.
2. Возьмем гармонический ряд
Для него 
и в этом случае
Так как 
с ростом 
неограниченно возрастает, интеграл
расходится. Тем самым должен расходиться и гармонический ряд.
3. Рассмотрим ряд «обратных квадратов»
(см. пример 1 из § 2). Для этого ряда, очевидно, полагаем 
Здесь
Интересующий нас несобственный интеграл сходится, так что сходимость и ряд «обратных квадратов».
4. Воспроизведем результат конца § 2, показав, что ряд
сходится при любом значении 
Для этого достаточно рассмотреть функцию 
и вычислить соответствующий несобственный интеграл
Из сходимости интеграла при 
вытекает сходимость ряда.
Чувствительность интегрального признака сходимости не исчерпывается умением различать сходящиеся и расходящиеся ряды вида (3.30). Этот признак способен улавливать и менее заметные отличия в скорости убывания членов рядов, как видно из дальнейших примеров.
5. При любом 
начиная с некоторого 
В самом деле, применяя правило Лопиталя (дифференцированием по 
мы получаем
Значит, начиная с некоторого 
должно быть
откуда следует правое неравенство в (3.31). Левое же наравенство в (3.31) очевидно.
Здесь ряд
расходится, а ряд
сходится. Что же касается ряда
то его члены, согласно неравенству (3.31), занимают промежуточное положение, и простыми сравнениями решить вопрос о его сходимости нельзя. Однако интегральный признак сходимости может выручить нас и в этом случае. Возьмем функцию — и вычислим
Так как
несобственный интеграл
расходится; значит, расходится и ряд (3.32).
6. Рассмотрим теперь ряд
при 
Возьмем для него функцию
и вычислим интеграл
Из сходимости этого несобственного интеграла следует сходимость ряда (3.33).
С другой стороны, для ряда
рассмотрение функции
и интеграла от нее
приводит к неограниченно возрастающей функции от 
так что несобственный интеграл
расходится, вследствие чего расходится и ряд (3.34).
Идя по этому пути, можно строить примеры все более медленно сходящихся рядов, равно как и примеры все более лениво расходящихся рядов. Интегральный признак Маклорена—Коши будет неизменно распознавать их сходимость или расходимость.
