§ 5. Преобразование рядов по Эйлеру
Определение. Преобразованием Эйлера называется переход от ряда
к ряду
Заметим, что форма записи ряда (14.21) не предполагает, что этот ряд знакочередующийся, и употребляется единственно ради удобства.
Лемма. Если ряд (14.22) сходится, то при любом 
Доказательство. Оценим выражение, стоящее под знаком предела. Согласно лемме из предыдущего параграфа мы имеем
Заметим, что сумма всех коэффициентов при модулях здесь равна единице, так что сумма любого набора этих коэффициентов не превосходит единицы.
Для любых 
и 
мы можем написать
Выберем теперь произвольное 
и найдем в соответствии со сходимостью ряда (14.21) такое 
что 
для всех 
. В силу сделанного замечания о коэффициентах второе слагаемое в (14.24) справа меньше, чем е.
Обратимся к первому слагаемому. На основании сходимости ряда (14.21) модули его членов должны быть ограниченными. Пусть 
Далее, при любом 
мы имеем
Значит,
Наконец,
(в чем легко убедиться, применяя 
раз правило Лопиталя с дифференцированием по k), и поэтому можно найти такое 
начиная с которого
Таким образом, правая часть (14.24) с ростом 
становится меньшей, чем 28, и произвольность 
доказывает наше утверждение.
Теорема. Если ряд (14.21) сходится, то полученный в результате его преобразования по Эйлеру ряд (14.22) также сходится, и суммы их равны:
Доказательство. Составим по ряду (14.21) двойной ряд
и, имея в виду применить к нему теорему Маркова (см. § 3 главы 13), проверим соблюдение ее условий.
Рассмотрим для двойного ряда (14.26) ряд-строку
и применим к нему теорему 1 § 2, положив в ней 
Замечая, что по только что доказанной лемме
в результате мы получим
Таким образом, в двойном ряде (14.26) сходятся все ряды-строки.
Почленное суммирование (14.27) дает нам
Справа здесь стоит ряд, сходящийся по условию. Следовательно, сходится и ряд, стоящий слева. Это значит, что существует сумма 
двойного ряда (14.26) по строкам, которая равна правой части равенства.
Составим теперь для двойного ряда (14.26) ряд-столбец
Естественные преобразования дают нам
Снова пользуясь теоремой 1 § 
и доказанной леммой, мы получаем, что
Но из сходимости ряда (14.21) следует, что 
Поэтому и для любого фиксированного 
так что равенство (14.28) может быть записано в виде
Это значит, что в двойном ряде (14.26) сходятся все ряды-столбцы. Мы видим, что общие условия теоремы Маркова выполнены. Нам остается рассмотреть остатки рядов-строк и их суммы.
Прежде всего, согласно теореме 1 § 2
и поэтому
Вводя вместо внутренней суммы остаток исходного ряда
мы получаем
или, применяя к последовательности 
формулу
Ясно вместе с тем, что члены ряда являются (первыми) разностями соответствующих его остатков. Поэтому мы имеем
а согласно лемме правая часть при неограниченном возрастании т. стремится к нулю, т. е.
Следовательно, по части 2) и части 3) теоремы Маркова (сумма 
ряда (14.28) по столбцам существует и равна
его сумме по строкам, т. е. 
Но из (14.28) вытекает, что
а последняя сумма и есть правая часть (14.25).
Примеры.
1. Возьмем ряд
и составим последовательности его разностей:
Нетрудно проверить, что для ряда (14.31)
Действительно, будем рассуждать по индукции. При 
это верно:
Предположив, что такой вид имеют 
и 
мы получим
так что по определению 
разности
В частности, 
Следовательно, преобразование 
Эйлера ряда (14.31) дает нам
и мы получаем равенство
В сущности, этот факт нам стал известен еще в § 11 главы 7: сумма каждого из этих рядов равна 
2. Для ряда 
последовательности разностей будут следующими:
Естественно предположить, что здесь
Для проверки этого предположения индуктивным переходом напишем
и составим разность
Мы видим, что предположение (14.32) подтвердилось. Ответственно при 
мы имеем
Таким образом, преобразование Эйлера дает нам
Преобразование рядов по Эйлеру во многих случаях ускоряет их сходимость. Однако это имеет место отнюдь не всегда.
Пример. Пусть
Последовательные ряды разностей имеют здесь вид
Непосредственно можно проверить, что здесь 
а сумма ряда, согласно преобразованию Эйлера,
Абсолютная величина 
остатка исходного ряда равна в нашем случае 
а преобразованного —
