§ 6. Вещественные ряды
Теорема (о почленном интегрировании степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.
Доказательство. Достаточно вспомн 
что внутри своего интервала сходимости ряд сходится
равномерно, после чего сослаться на общую теорему § 9 главы 5.
Теорема о почленном дифференцировании общих функциональных рядов выглядела более слабой, чем теорема об их почленном интегрировании: в теореме о дифференцировании требовалась дополнительно сходимость ряда, составленного из производных членов. Для случая степенных рядов это условие внутри интервала сходимости выполняется автоматически, о чем свидетельствует следующая теорема.
Теорема (о почленном дифференцировании степенного ряда). Пусть степенной ряд
имеет радиус сходимости 
Тогда ряд
получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (6.10), также имеет радиус сходимости 
Производная суммы ряда (6.10) равна сумме ряда (6.11):
Доказательство. Заметим, прежде всего, что вторая часть теоремы следует из первой ее части. Действительно, раз ряд (6.11) имеет радиус сходимости 
согласно теореме о равномерной сходимости, он сходится равномерно в любой замкнутой области интервала сходимости ряда (6.10). Следовательно, мы можем сослаться на общую теорему о почленном дифференцировании функциональных рядов.
Нам остается найти радиус сходимости ряда (6.11).
Пусть 
Возьмем произвольно 
Так как точка 
принадлежит интервалу сходимости ряда (6.10), числовой ряд
сходится, и потому
Это значит, что при любом 
для достаточно больших n
Далее, мы имеем
Следовательно, члены ряда
начиная с некоторого места, становятся меньше соответствующих членов ряда
Применяя к последнему ряду признак сходимости Даламбера, мы получаем
Следовательно, ряд (6.13) сходится. Поэтому сходится и ряд (6.12). Значит, по теореме Абеля степенной ряд (6.12) сходится в круге радиуса 
равномерно.
Но число 
может быть выбрано сколь угодно близким к числу 
Это и означает, что радиус сходимости ряда (6.12) равен 
Хотя при почленном дифференцировании степенного ряда радиус его сходимости и не уменьшается, но в пределах области сходимости получившийся ряд сходится медленнее, чем исходный.
Пример. Для 
остатков суммы сходящейся геометрической прогрессии 
и ряда, составленного из производных ее членов, согласно (1.21) и (1.22) имеет место
