§ 5. Критерий Коши сходимости рядов
Применим доказанную теорему к теории рядов, считая последовательность (2.6) последовательностью частичных сумм ряда.
Теорема, Для того чтобы ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм
обладало следующим свойством: каково бы ни было 
существует такое 
что при любом 
Доказательство сводится к уяснению того, что сходимость ряда есть по определению сходимость последовательности его частичных сумм, и к применению к последовательности частичных сумм только что доказанного принципа сходимости Коши.
Эту теорему можно переформулировать следующим, быть может, несколько более наглядным образом: для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы по любому 
нашлось такое 
что сумма любого числа членов ряда, начиная с 
была меньше 8. Таким образом, сходимость ряда означает, что сколь угодно «длинные» суммы его последовательных членов должны быть малыми, если только они состоят из «достаточно далеких» членов ряда.
