§ 6. Признак сходимости Даламбера
На основе третьего признака сравнения легко формулировать и доказывать весьма удобные признаки сходимости. Рассмотрим один из них.
Теорема (признак сходимости Даламбера). Если для ряда
с положительными членами, начиная с некоторого номера 
отношение 
члена к предыдущему, 1 не будет превосходить некоторого числа 
т. е. если
то ряд (3.35) сходится.
Наоборот, если для ряда (3.35), начиная с некоторого номера 
отношение 
члена к предыдущему, будет не меньше единицы, т. в. если
то ряд (3.35) расходится.
Доказательство. Пусть выполняется условие (3.36). Возьмем в третьем признаке сравнения в качестве вспомогательного ряда
сходящуюся геометрическую прогрессию
В этом случае неравенство (3.36) может быть записано как
Это значит, что, согласно третьему признаку сравнения, ряд (3.35) сходится.
Пусть теперь выполняется условие (3.37). Возьмем в третьем признаке сравнения в качестве ряда
расходящийся ряд
а в качестве ряда
— исследуемый ряд (3.35). В этом случае неравенство (3.37) переписывается как
и ряд (3.35) расходится согласно третьему признаку сравнения.
Следствие. Если для ряда (3.35) отношение 
стремится к некоторому пределу, меньшему единицы:
то этот ряд сходится.
Если это отношение стремится к пределу, большему единицы.
то ряд расходится.
Доказательство. Предельное соотношение (3.38) означает, что, начиная с некоторого места, все отношения вида будут достаточно близкими к значению предела 
, в частности, не будут превосходить некоторого числа 
лежащего между 
и единицей. После сказанного нам остается сослаться на только что доказанную теорему.
Случай 
рассматривается аналогично.
Примеры.
1. Для ряда
мы имеем
Поэтому
Но последний предел, как известно, есть
Следовательно,
так что ряд (3.39) сходится.
2. Следующий пример показывает, что, как и в случае второго признака сравнения, описывающая признак сходимости Даламбера теорема существенно сильнее вытекающего из нее следствия, т. е. существование стоящего в отношении (3.38) предела для сходимости ряда не обязательно.
Рассмотрим ряд
Для этого ряда
Следовательно, отношение ни к какому пределу не стремится.
Так как вместе с тем оно для всех номеров не превосходит половины, в силу теоремы ряд (3.40) сходится.
