§ 2. Абсолютная сходимость и расходимость
Теорема 1. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
Доказательство. Пусть
— некоторый знакопеременный ряд, который абсолютно сходится. Это означает, что сходится ряд
Тогда по теореме об умножении ряда на число (см. § 8 главы 2) сходится и ряд
Но очевидно, что при любом 
Следовательно, по первому признаку сравнения рядов (см. § 2 главы 3) сходится и ряд
Но тогда по теореме о вычитании рядов (см. § 8 главы 2) сходится и ряд, членами которого являются разности соответствующих членов рядов (4.5) и (4.4), т. е. ряд (4.3).
Доказанная теорема остается в силе и в том случае, когда члены ряда (4.3) являются комплексными числами. Действительно, положим
Тогда должно быть
Из сходимости ряда (4.4) следует поэтому сходимость обоих рядов
и тем самым сходимость ряда
Теорема 2. Если
— абсолютно сходящийся ряд с суммой 
а сумма ряда
равна 
то
Доказательство. Мы имеем для 
частичной суммы 
ряда (4.6)
Переходя в этом неравенстве к пределу по 
при со, мы получаем (4.8).
Следствие. Если 
остаток абсолютно сходящегося ряда (4.6) есть 
остаток ряда (4.7) есть 
то
Примеры.
сходится абсолютно, потому что сходится ряд «обратных квадратов»
Следовательно, по доказанной теореме ряд сходится.
является знакопеременным. Составим ряд из абсолютных величин членов нашего ряда
Члены последнего ряда не превосходят соответствующих членов ряда «обратных квадратов». Но ряд «обратных квадратов» сходится; поэтому сходится и ряд (4.10). Это значит, что ряд (4.9) сходится абсолютно и тем самым сходится.
С другой стороны, существуют знакопеременные сходящиеся ряды, которые не сходятся абсолютно.
Пример. Рассмотрим ряд
Модули членов этого ряда составляют гармонический ряд, который расходится (см. § 2 главы 3). Следовательно, ряд (3.11) не является абсолютным сходящимся.
Убедимся в том, что он все-таки сходится. Пусть 
частичная сумма ряда (4.11). Мы имеем
Сравнение ряда
с рядом «обратных квадратов» указывает на его сходимость. Пусть
Далее,
Ряд
также сходится (чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить и его с рядом «обратных квадратов» или с рядом 
Пусть его сумма равна 
Но сумма ряда, составленного из сумм членов рядов (4.12) и (4.14),
как было установлено в § 8 главы 2, равна 1. Следовательно, по теореме о сложении рядов (теорема 4 § 8 главы 
Значит, (4.15) можно переписать как
Вместе с (4.13) это дает нам
а тем самым сходимость ряда (4.11),
