§ 10. Двойные ряды Фурье

Рассмотрим теперь расположенную в виде неограниченной прямоугольной таблицы ортогональную на прямоугольнике систему функций:

Пусть нам дана функция Найдем все интегралы

и составим двойной ряд

Определение. Двойной ряд (13.66) называется двойным (или, иначе, кратным) рядом Фурье функции по системе функций (13.64). Коэффициенты этого ряда, вычисляемые по формуле (13.65), называются коэффициентами Фурье функции по системе (13.64).

В качестве ортонормальной системы (13.64) при разложении функций в двойной ряд Фурье можно брать различные системы функций. В частности, можно взять и ортонормальную систему тригонометрических функций

(13.63). Получаемый при этом двойной ряд Фурье называется тригонометрическим двойным рядом Фурье. Далее мы будем говорить только о таких двойных рядах Фурье и эпитет «тригонометрический» будем опускать.

Вопрос о сходимости двойного ряда Фурье функции к этой функции является довольно сложным. Его решение напоминает решение Еопроса о сходимости простого ряда Фурье. Мы ограничимся указанием на некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке к значению функции в этой точке:

1) Всюду существуют и ограничены первые частные производные

2) В некоторой окрестности точки существует вторая смешанная производная или непрерывная в этой точке.

Многие формальные свойства простых рядов Фурье сохраняются при соответствующих переформулировках и для двойных рядов Фурье.

Так, можно «сдвигать» прямоугольник разложения функции вдоль осей координат, а также изменять длины его сторон.

Если разлагаемая функция оказывается четной по х при любом значении переменной у, то в ее двойном ряде Фурье коэффициенты при функциях

обращаются в нуль.

Сходные утверждения имеют место при нечетности функции по переменной х при любом значении у, а также при ее четности или нечетности по у при любом значении х.