§ 2. Суммирующие функции

Пусть

— некоторый числовой ряд. Через будем обозначать ряд Если, кроме того,

также является рядом, то под суммой будем понимать ряд, члены которого являются суммами соответствующих членов рядов и V, т. е.

Поставим ряду в соответствие некоторое число которое будем называть его суммой. Мы можем считать, что имеем дело с функцией определенной для некоторых рядов и принимающей численные значения. Функцию будем называть суммирующей функцией.

Примером такой суммирующей функции может служить

Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов, и для каждого сходящегося ряда ее значение равно обычной сумме этого ряда. Так определенную конкретную суммирующую функцию мы обозначим через

Все упоминаемые далее суммирующие функции принято связывать с именами вводивших их математиков. Для «обычной» суммирующей функции этого не делают. Однако по справедливости обычное суммирование рядов следовало бы называть «суммированием по Коши»,

Вычисление значений суммирующей функции т. е. переход от рядов к их суммам а также систематические реконструкции по числу ряда встречающиеся, например, при разложении функций в ряды, позволяют решать, как мы имели возможность убедиться, большое число разнообразных задач. Поэтому есть основания надеяться, что систематическое употребление суммирующих функций, отличных от обычной суммирующей функции также окажется полезным методом.

Можно представить себе чрезвычайно много суммирующих функций. Для оправдания своего названия они должны обладать некоторыми свойствами обычных сумм. Мы выберем два таких свойства.

Во-первых, суммирующая функция не должна противоречить обычному суммированию сходящихся рядов. Иными словами, если — некоторый сходящийся ряд, то значение должно существовать и быть равным Суммирующая функция обладающая этим свойством, называется регулярной (по иной терминологии — перманентной).

Во-вторых, для суммирующей функции если ее понимать как операцию над рядом, должны соблюдаться некоторые законы операции сложения. В качестве таких законов мы возьмем дистрибутивный закон:

и некоторую комбинацию коммутативного и ассоциативного законов, выражающуюся в возможности почленного сложения рядов:

Оба эти закона могут быть объединены в единый закон линейности: для любых двух рядов и V и чисел из существования значений и следует существование значения и равенство

Суммирующая функция, обладающая этим свойством, называется линейной.

Как следует из теорем 2 и 4 (или, что то же самое, из теоремы 5) § 8 главы 2, суммирующая функция является линейной. Поэтому свойство линейности суммирующей функции не противоречит свойству ее

регулярности. Вместе с тем своими свойствами линейности и регулярности суммирующая функция однозначно не определяется. Далее мы рассмотрим несколько суммирующих функций, которые линейны и регулярны, но отличны как от функции так и друг от друга.