§ 4. Доказательство теоремы Дирихле
Теорема Дирихле была сформулирована в § 2 главы 9. Устайовленные в трех предыдущих параграфах факты позволят нам привести здесь ее доказательство.
Пусть 
— интегрируемая функция на сегменте 
и
— ее тригонометрический ряд Фурье. Это значит, что коэффициенты 
определяются по формулам (9.5)-(9.7).
Рассмотрим сумму Фурье
Подстановка в нее вместо коэффициентов Фурье их значений дает нам
или
Вычисляя стоящую в квадратных скобках сумму (это можно сделать подобно тому, как в § 8 главы 1 была вычислена знакопеременная сумма косинусов), мы получаем
Займемся преобразованием этого интеграла, предполагая, что функция 
удовлетворяет условиям Дирихле.
Пусть сначала — 
Разобьем стоящий в (16.26) интеграл на два интеграла: в пределах от 
до х и
Сделаем подстановки: 
в первом интеграле и 
— во втором. Замечая, что 
при всех 
мы получаем
На основании теоремы предыдущего параграфа должно быть
Точно так же получается, что
Вместе с предыдущим это дает нам (9.9), и теорема Дирихле доказана.
до 
. Получим 
а во втором — подстановку 
Тогда мы получим
Полагая в первом интеграле 
, а во втором 
и пользуясь обозначенйями и результатами предыдущего параграфа, мы получаем
Предположим для определенности 
. В этом случае равенство (16.26) переписывается как
до 0 и от 0 до 
Получим
