§ 2. Признак сходимости Раабе
Возьмем в признаке Куммера в качестве расходящегося ряда (12.1) гармонический ряд 
В этом случае мы имеем
Полученный признак сходимости может быть сформулирован следующим образом.
Теорема (признак сходимости Раабе). Ряд
сходится, если найдется такое 
что
Этот ряд расходится, если, начиная с некоторого 
будет
Предельная форма признака Раабе выглядит следующим образом:
Если
то ряд (12.9) сходится, а если
то расходится.
Признак сходимости Раабе существенно чувствительней, чем сходный с ним признак сходимости Даламбера. Действительно, там, где признак Даламбера, взятый в его предельной форме, устанавливает сходимость ряда (12.9):
там признак Раабе дает 
.
Аналогично для ряда, на расходимость которого указывает признак Даламбера, по признаку Раабе будет
Примеры.
1. Рассмотрим ряд
Здесь 
так что при каждом конкретном х
и применение признака Даламбера здесь безрезультатно. Признак же Раабе дает
Отсюда видно, что при 
рассматриваемый ряд сходится, а при 
расходится. Заметим попутно, что при 
ряд (12.10) превращается в гармонический, который, как известно, расходится. То, что признак Раабе в своей исходной (непредельной) форме устанавливает расходимость гармонического ряда, не может считаться самостоятельным результатом, так как само составляющее признак Раабе утверждение как раз опирается на эту расходимость.
2. Рассмотрим далее ряд
Составим отношение соседних членов этого ряда:
Будем разлагать стоящие справа Логарифмы и квадратные корни в соответствии с формулой Тейлора по степеням 
. В этом и в следующих примерах мы будем пользоваться предельными признаками сходимости. Это значит, что нам придется неограниченно увеличивать значения переменной 
Поэтому каждая следующая степень 
будет при увеличении 
бесконечно малой высшего порядка по сравнению с предыдущими. Отбрасывая все степени, начиная с некоторой, 
будем совершать ошибку, которая будет мала не только абсолютно, но и по сравнению с последним из удержанных членов. Эта относительная ошибка будет тем меньшей, чем больше значение 
и исчезает в пределе при неограниченном возрастании 
. В зависимости от требуемой точности рассуждений мы будем удерживать в формулах Тейлора для соответствующих функций то или иное число членов. Далее мы будем связывать знаком выражения, отличающиеся друг от друга величинами, малыми по сравнению с той точностью, которую дают удержанные и выписанные члены.
Сначала ограничимся членами логарифмов и корней, содержащими 
в степени не выше первой. Мы будем иметь
Следовательно, 
и признак сходимости Даламбера здесь нам никакого ответа дать не может.
Воспользуемся поэтому признаком Раабе. Для этого вычислим отношение соседних членов ряда (12.11) более точно, удерживая в формулах Тейлора степени 
до второй включительно. Мы получим
Очевидные упрощения дадут нам
откуда 
т. е. ряд (12.11) расходится.
3. Возьмем теперь ряд
Как и в предыдущем примере, можно убедиться в том, что признак Даламбера не в состоянии решить вопрос о сходимости этого ряда. Применим признак Раабе. Для отношения соседних членов ряда мы имеем
и, действуя аналогично предыдущему, мы получаем 
Отсюда
так что ряд (12.12) сходится.
4. Пусть, наконец, нам дан ряд
Повторяя рассуждения из примеров 2 и 3, мы видим, что в этом случае 
Но теперь оказывается
и признак сходимости Раабе здесь никакого отчета не дает.
