§ 8. Разложение функций в степенные ряды

Сумма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри круга сходимости этого ряда (а также, быть может, еще и в некоторых точках его границы).

В связи с этим возникают две задачи. Во-первых, можно по заданному ряду искать ту функцию, которой равна его сумма в области сходимости ряда. Эта задача называется суммированием сходящегося ряда. Во-вторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Эта задача называется разложением функции в ряд.

Сейчас мы займемся вопросами разложения функций в степенные ряды. В дальнейшем будут рассматриваться также разложения функций в тригонометрические ряды, с одним примером которых мы уже познакомились в § 7 главы 1.

Наряду со степенными рядами относительно переменной т. е. рядами вида

нам будет удобно рассматривать также ряды, степенные относительно переменной ряды вида

Ясно, что подстановкой второй из этих рядов превращается в первый. Поэтому если круг сходимости первого ряда состоит из всех точек, для которых то по тем же самым причинам круг сходимости второго ряда состоит из всех тех точек у, для которых Иными словами, на комплексной плоскости, на которой изображается независимая переменная круг сходимости ряда (6.16) имеет тот же радиус что и круг сходимости ряда (6.15), а центр его расположен в точке а.

В частности, если ряды (6.15) и (6.16) вещественные, то интеръал сходимости ряда (6.16) получается путем сдвига интервала сходимости ряда (6.15) на а вправо (очевидно, если то фактически происходит сдвиг влево).