§ 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье

Пусть функция определенная на бесконечном промежутке удовлетворяет следующим условиям.

1) Функция является ограниченной и абсолютно интегрируемой на т. е. существует несобственный интеграл

2) В любом конечном сегменте функция разлагается в ряд Фурье (практически обычно требуют, чтобы функция в любом конечном сегменте удовлетворяла условиям Дирихле).

При соблюдении этих условий мы можем рассуждать следующим образом.

Фиксируем некоторое произвольное I и напишем разложение функции в ряд Фурье в сегменте

где коэффициенты определяются по формулам (11.2). Ясно, что при этом коэффициенты зависят не только от функции но и от параметра I (значение I фигурирует в пределах интегралов в формулах

Подставим теперь в ряд (11.3) выражения для коэффициентов, даваемые формулами (11.2). Мы получим

или

или

Вводя зависящую от переменную

и полагая

имеем

По мере возрастания I в силу абсолютной интегрируемости функции интеграл

все меньше отличается от несобственного интеграла

Кроме того, сумма, стоящая в правой части формулы (11.5), напоминает интегральную сумму. В нем с ростом число слагаемых увеличивается, а каждое слагаемое уменьшает свой «удельный вес». Поэтому естественно предполагать, что при возрастании I эта сумма в (11.5) стремится к интегралу по а:

Далее, первое слагаемое в (11.5) справа по мере роста стремится к нулю. В самом деле,

Таким образом, в пределе, при формула (11.5) превращается в следующую:

Эта формула называется интегральной формулой Фурье, а стоящий в ней интеграл — интегралом Фурье. Представление функции в виде правой части формулы (11.6)

обычно называется разложением этой функции в интеграл Фурье.

Ясно, что все только что сказанное здесь касалось только тех точек х, в которых функция непрерывна. Для точек разрыва справедлива, как и в случае рядов Фурье, интегральная формула, описывающая полусумму пределов функции справа и слева:

Итак, мы приходим к формулировке следующей теоремы.

Теорема Фурье. Если функция на бесконечном промежутке является ограниченной и абсолютно интегрируемой, а в каждом конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, то для любого х имеет место равенство (11.6), если х есть точка непрерывности функции и равенство (11.7), если х есть точка разрыва этой функции.

Заметим, что в формуле (11.6) внутренний интеграл представляет собой некоторую функцию от а. Так как эта функция зависит не от самой переменной а, а от ее косинуса, она должна быть четной. Поэтому мы можем формулу (11.6) переписать в следующем виде:

Мы привели «правдоподобные» соображения в пользу справедливости теоремы Фурье, которые, разумеется, нельзя считать ее доказательством. Доказательство теоремы Фурье довольно сложно и выходит за пределы основного курса. Оно содержится в § 5 главы 16.

Пример. Пусть

(график функции изображен на рис. 13).

Очевидно, что при любом

и

Следовательно, функция в промежутке является ограниченной и абсолютно интегрируемой.

Кроме того, функция монотонно убывает, и поэтому функция тривиальным образом удовлетворяет условиям Дирихле.

Рис. 13.

Из сказанного следует, что, согласно теореме Фурье, функция разлагается в интеграл Фурье в соответствии с формулой (11.6). Выпишем это разложение в явном виде (т. е. без внутреннего интеграла, стоящего в правой части этой формулы).

Мы имеем в рассматриваемом случае

или, производя дважды интегрирование по частям,

Отсюда следует, что

Значит, формула (11.6) приобретает в этом случае следующий вид: