§ 6. Разложение по системам функций
Пусть снова дана заданная на 
последовательность функций
— некоторая функция, также заданная на 
Мы будем рассматривать вопросы, связанные с разложением функции 
в ряд по системе функций (8.32), т. е. с представлением функции 
в виде суммы сходящегося ряда
С такого рода представлениями функций мы уже встречались при разложении функций в ряды Тейлора и Маклорена. В случае рядов Тейлора в качестве последовательности (8.32) бралась последовательность
а в случае рядов Маклорена — последовательность
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена весьма полезно для теории и практики, но оно страдает рядом недостатков. К их числу следует отнести то уже отмечавшееся обстоятельство, что суммами сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые сколько угодно раз. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, имеющие «неплавности», «изломы» и даже «скачки».
Кроме того, ни одна из последовательностей (8.33) и (8.34) не является ортогональной ни на каком из сегментов. Поэтому на разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена не удается перенести приемы, применяемые при разложениях векторов по ортогональным системам. Правда, системы (8.32) и (8.33) оказываются ортогональными на некоторых линиях на плоскости комплексного переменного, но это уже другой вопрос. Как будет видно из §§ 12 и 13 следующей главы, такая постановка вопроса фактически сводит его к рассмотрению разложений функций по системе тригонометрических функций (8.31).
Описанная в § 4 система тригонометрических функций и некоторые близкие ей системы лишены указанных недостатков степенных рядов. Разложения по этим системам будут рассматриваться в следующей главе.
