§ 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных

В главе 8 рассматривались ортогональные и ортонормальные на сегменте функции от одной независимой переменной, причем сами системы функций понимались как последовательности.

Введем теперь аналогичные понятия для систем функций от двух независимых переменных. Будем рассматривать функции на прямоугольнике с вершинами и (рис. 19), который далее будет обозначаться как

Рис. 19.

Определение. Нормой функции на прямоугольнике называется квадратный корень из интеграла

Функция, норма которой равна единице, называется нормированной.

Функции называются ортогональными на прямоугольнике если

Система функций называется ортогональной на прямоугольнике, если любые две функции из нее ортогональны на нем.

Система функций называется нормированной, если нормирована каждая функция.

Система функций называется ортонормальной, если она является ортогональной и нормированной.

Естественная схема построения ортонормальных систем функций от двух переменных на прямоугольниках возникает из следующей теоремы.

Теорема. Пусть

— ортонормальные системы функций соответственно от переменной х на сегменте и от переменной у на сегменте

Тогда система функций от двух переменных, состоящая из произведений каждой из функций (13.60) на каждую из функций (13.61), есть ортонормальная система функций на прямоугольнике

Доказательство. Мы имеем для любых ввиду нормированности каждой из систем (13.60) и (13.61)

Рассмотрим теперь интеграл

Если или же то хотя бы один из интегралов, стоящих справа в (13.62), обращается ввиду ортогональности систем (13.60) и (13.61) в нуль. Это значит, что различные (т. е. отличающиеся хотя бы одним сомножителем) произведения функции из (13.60) на функцию из (13.61) ортогональны между собой.

Ортонормальность рассматриваемой системы функций двух переменных установлена.

Пример. Возьмем в качестве системы (13.60) ортояормальную на систему тригонометрических функций от переменной (см. § 5 главы 8 или § 1 главы 9):

а в качестве системы (-такую же систему функций от переменной у:

Тогда по доказанному система функций, которую можно расположить в виде неограниченной прямоугольной таблицы:

является ортонормальной системой на прямоугольнике . Она называется ортонормальной системой тригонометрических функций от двух переменных.