§ 7. Почленное дифференцирование прогрессий

Снова напишем тождество (1.18)

и на этот раз продифференцируем обе его части:

Полагая в этом тождестве мы получаем

Слева под знаком предела стоит сумма, зависящая от При любом она с ростом возрастает и притом остается ограниченной сверху числом Следовательно, эта сумма имеет предел

Для вычисления первого из пределов в правой части (1.23) рассмотрим предел

где может принимать любые вещественные значения. Этот предел представляет собой неопределенность. Раскрывая ее по правилу Лопиталя (дифференцированием по ), мы получаем

Отсюда следует, что для любой неограниченно возрастающей последовательности значений последовательность значений функции стремится к нулю. В частности, это имеет место и в том случае, когда принимает целочисленные значения Таким образом,

Наконец, второй предел в (1.23) справа, очевидно, также равен нулю.

Учитывая все сказанное, мы можем переписать равенство (1.23) как

или, иначе,

Таким образом, предел суммы производных от членов геометрической прогрессии равен производной от суммы прогрессии.

Как и в предыдущем параграфе, установленный факт потребовал некоторых специальных рассуждений.

Формулы (1.15), (1.20), (1.24) показывают, что существуют функции, вид которых существенно отличается от многочлена, но которые можно представить в виде «бесконечной суммы» степеней переменной, взятых с теми или иными коэффициентами.

В главе 6 будет показано, что такому представлению поддаются весьма разнообразные функции.