§ 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость

В случае бесконечной прогрессии

о сумме всех ее членов

пока говорить несколько преждевременно, поскольку мы еще не условились, какой смысл следует придавать этому выражению. Однако мы во всяком случае можем говорить о сумме первых членов этой прогрессии:

которую можно назвать частичной суммой прогрессии.

Как было только что выяснено, при эта сумма равна

Естественно считать суммой бесконечной прогрессии (1.5) предел ее частичных сумм при неограниченном возрастании

Подчеркнем, что мы здесь вводим определение суммы всех членов прогрессии. Это определение действительно естественное: чем больше слагаемых мы возьмем в сумме вида тем «ближе» мы подойдем к предельному значению суммы. Поэтому не должно вызывать возражений, если в качестве «суммы всех» членов прогрессии мы этот предел и примем.

Таким образом, о сумме можно говорить лишь тогда, когда существует конечный предел . В этом случае

говорят, что прогрессия (1.5) сходится; если такого предела не существует, то говорят, что прогрессия (1.5) расходится.

Воспользовавшись формулой (1.4), определение можно при переписать как

Так как от не зависят, мы можем последнюю формулу представить в виде

Дальнейшее зависит от значения знаменателя (напомним, что мы считаем

Если то, очевидно, стоящий в (1.6) предел равен нулю и мы получаем

Следовательно, при прогрессия (1.5) сходится.

Пусть теперь Предположим, что при этом

Тогда, начиная с некоторого места, все будут близки к отличаясь от менее чем на некоторое сколь угодно малое, наперед заданное число . Тем самым они должны отличаться друг от друга менее чем на . Но в наших условиях разность двух соседних сумм, есть и вовсе не стремится к нулю (а при даже возрастает по модулю). Следовательно, при прогрессия (1.5) расходится.

Таким образом, мы полностью выяснили вопрос о сходимости прогрессий. Оказалось, что сходятся те и только те прогрессии, у которых знаменатель по модулю меньше единицы.

Заметим, что этот вопрос был нами решен на основе непосредственного вычисления частичных сумм прогрессий и последующего перехода к пределу.

С какой скоростью сходятся сходящиеся прогрессии? Уметь ответить на этот вопрос важно потому, что многие применения прогрессий (как и рядов вообще) основаны на замене суммы всей прогрессии на некоторую ее частичную

сумму или наоборот. Для прогрессий поставленный вопрос решается просто. Очевидно, для любой сходящейся прогрессии

Ясно, что чем ближе знаменатель прогрессии к единице, тем хуже описывает частичная сумма сумму

Если прогрессия расходится, то говорить о ее сумме, строго говоря, нельзя. Прямое вычисление этой суммы с некритическим использованием «обычных» математических средств может привести к парадоксальным явлениям.

Например, пусть мы имеем прогрессию со знаменателем, равным —1:

«Сумма» этой прогрессии формально записывается как

Объединяя попарно ее соседние члены, начиная с первого, мы получим

Объединяя же попарно соседние члены, начиная со второго, мы получим совсем другой ответ: