§ 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши
Мы видели примеры весьма медленно сходящихся и весьма медленно расходящихся рядов. В их число прогрессии не входят: если в прогрессии знаменатель меньше единицы, то прогрессия довольно быстро сходится. С другой стороны, если знаменатель прогрессии не меньше единицы, то прогрессия расходится весьма быстро: частичные ее суммы, начиная с некоторого места, растут во всяком случае не медленнее, чем линейная функция.
В связи со сказанным едва ли можно надеяться, что основанные, по существу, только на свойствах прогрессий признаки сходимости Даламбера и Коши окажутся особенно чувствительными.
Действительно, рассмотрим снова гармонический ряд
и ряд «обратных квадратов»
Расходимость первого и сходимость второго из этих рядов уже устанавливались нами дважды и в том числе при помощи интегрального признака Маклорена—Коши. Посмотрим, как работают применительно к этим рядам признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера в каждом из этих случаев дает нам
и
т. е. не приводит к определенному ответу.
Признак Коши для гармонического ряда дает
откуда
Вместе с тем и для ряда «обратных квадратов»
так что и в этом случае
Таким образом, даже столь резко отличающееся друг от друга поведение этих двух рядов неразличимо для признаков Даламбера и Коши.
При этом все-таки признак Коши несколько чувствительнее, чем признак Даламбера. Это можно усмотреть из следующего параграфа.
Пример. Рассмотрим ряд
В этом ряде
Здесь, очевидно,
Таким образом, отношение все время «перескакивает» через единиду, и признак Даламбера здесь неприменим.
Вместе с тем признак Коши дает нам
и тем самым указывает на сходимость ряда.
