§ 8. Четные и нечетные функции
Как было установлено, задачу разложения функции в ряд Фурье на произвольном сегменте можно свести к задаче разложения несколько видоизмененной функции на сегменте . Поэтому мы далее будем ограничиваться только этим свойством.
Итак, пусть функция задана на сегменте и удовлетворяет условиям Дирихле. Займемся исследованием двух частных случаев.
Напомним, что функция называется четной, если
во всей области ее задания; и нечетной, если
(также для всех тех для которых значение функции определено).
Как легко проверить, произведение четной функции на четную, равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и нечетной функции нечетно.
Очевидно, если функция нечетная, то
а если функция четная, то
Четность функций изменяется при их дифференцировании и интегрировании.
Теорема 1. Производная четной функции является нечетной функцией, а производная нечетной функции — четной.
Доказательство. Пусть функция — четная. Тогда при любых должно быть
откуда или, переходя к пределу,