§ 8. Четные и нечетные функции

Как было установлено, задачу разложения функции в ряд Фурье на произвольном сегменте можно свести к задаче разложения несколько видоизмененной функции на сегменте . Поэтому мы далее будем ограничиваться только этим свойством.

Итак, пусть функция задана на сегменте и удовлетворяет условиям Дирихле. Займемся исследованием двух частных случаев.

Напомним, что функция называется четной, если

во всей области ее задания; и нечетной, если

(также для всех тех для которых значение функции определено).

Как легко проверить, произведение четной функции на четную, равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и нечетной функции нечетно.

Очевидно, если функция нечетная, то

а если функция четная, то

Четность функций изменяется при их дифференцировании и интегрировании.

Теорема 1. Производная четной функции является нечетной функцией, а производная нечетной функции — четной.

Доказательство. Пусть функция — четная. Тогда при любых должно быть

откуда или, переходя к пределу,

Случай нечетной функции рассматривается аналогично.

Следствие. Вторая производная четной функции четна, а нечетной — нечетна.

Теорема 2. Если функция нечетна, то ее первообразная четна.

Если функция четна, а для ее первообразной имеет место то функция нечетна.

Доказательство. Пусть функция нечетна. Тогда

Если функция четна, то при