ГЛАВА 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Определение функционального ряда

Понятие функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область ее значений. Так можно рассматривать числовые функции от чисел (при этом числу-аргументу ставится в соответствие число, являющееся значением функции); можно говорить о числовых функциях от систем чисел (то, что обычно называется функциями нескольких переменных); можно говорить о вектор-функциях (т. е. о функциях, значениями которых являются векторы) и т. д. Близкими к вектор-функциям являются такие функции, которые ставят в соответствие числам — ряды. Эти функции называются функциональными рядами.

Так как задание ряда состоит в задании каждого его члена, а член ряда есть число, задание функционального ряда от некоторой переменной х состоит в задании ряда функций от этой переменной, являющихся членами функционального ряда. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение. Выражение

называется функциональным рядом относительно переменной х.

Если переменная х может принимать только вещественные значения, а параметры функций, являющихся членами ряда (5.1), также все вещественные, то ряд (5.1) называется вещественным рядом.

Если же значения переменной х, равно как и параметры функций могут быть не только

вещественными, но и комплексными, то ряд (5.1) называется комплексным рядом.

Примеры.

1. Если х принимает только вещественные значения, то ряд

является вещественным рядом относительно переменной х.

2. Этот же ряд можно рассматривать как комплексный ряд относительно переменной

если есть комплексная переменная.

Говоря в данной главе об общих функциональных рядах, мы будем каждый раз иметь в виду только вещественные ряды. Некоторые вопросы, касающиеся комплексных рядов, будут затронуты в следующей главе.

Каждый из членов функционального ряда может быть, в частности, и постоянной. В этом случае функциональный ряд превращается в числовой. Таким образом, числовой ряд является частным случаем функционального.