§ 2. Признаки сравнения

Поскольку в ряде с положительными членами величина одних членов не может быть скомпенсирована другими, противоположного знака, сходимость таких рядов особенно заметно зависит от величины их членов. Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть

и

— два ряда, причем члены первого, начиная с некоторого места, не превосходят соответствующих членов второго:

Тогда из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1), а из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда, достаточно доказать теорему для случая, когда Пусть

— последовательности частичных сумм рядов (3.1) и (3.2). Из (3.3) следует, что

Пусть ряд (3.2) сходится и — его сумма. Из положительности членов ряда (3.2) следует, что при любом . Это значит, что частичные суммы ряда (3.1) в совокупности ограничены, и поэтому сам ряд (3.1) сходится. Обозначим его сумму через Переходя в неравенстве (3.4) по к пределу при мы получаем

(ввиду сходимости ряда (3.1) написанный слева предел также существует), т. е.

Пусть теперь ряд (3.1) расходится. Это значит, что его частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, в силу (3.4), должны неограниченно возрастать и частичные суммы ряда (3.2), который тем самым расходится.

Примеры.

1. Рассмотрим ряд

(мы будем в дальнейшем называть его рядом «обратных квадратов»). Отбросив первый член этого ряда (что, как, известно, не сказывается на его сходимости), сравним его с рядом

сходимость которого нами уже была установлена. Мы видим, что

Следовательно, и ряд (3.5) сходится. Поскольку ряд (3.5) есть частный случай ряда (2.3) (здесь полученный результат есть частный случай установленного в конце § 2 главы 2. В частности, сумма ряда (3.5) не превосходит числа Как будет видно далее (см. § 11 главы 9), эта сумма равна

2. Рассмотрим ряд

который обычно называется гармоническим.

Заменим в гармоническом ряде третий и четвертый члены на каждый, следующие 4 члена — на каждый; следующие — на . В результате мы получим ряд

Члены этого ряда не превосходят соответствующих членов гармонического ряда. Поэтому для доказательства расходимости гармонического ряда достаточно установить расходимость ряда (3.6). Чтобы сделать это, объединим группы одинаковых членов ряда (3.6) в один член нового ряда. Так как каждая группа насчитывает членов, а каждый член ее равен сумма членов в каждой группа

равна Новый ряд получается таким:

и, очевидно, расходится. Таким образом, по следствию теоремы 1 § 8 главы 2 расходится и ряд (3.6), а потому и гармонический ряд.

3. Рассмотрим ряд

Так как

члены ряда (3.6) меньше соответствующих членов ряда обратных квадратов. Следовательно, этот ряд сходится.

4. Пусть нам дан ряд

Поскольку

члены ряда (3.8) больше соответствующих членов гармонического ряда. Поэтому ряд (3.8) расходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть

и

— два ряда, причем можно указать такие постоянные и К у что, начиная с некоторого

Тогда ряды (3.9) и (3.10) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (3.11) следует, что

Если ряд (3.9) сходится, то из левого неравенства в (3.12), согласно первому признаку сравнения, вытекает сходимость ряда

Отсюда на основании дистрибутивного закона для рядов (см. теорему 2 § 8 главы 2) следует сходимость ряда

(3.10). Поэтому если ряд (3.10) расходится, то и ряд (3.9) также должен расходиться.

Если сходится ряд (3.10), то по дистрибутивному закону для рядов должен сходиться ряд

и, следовательно, но первому признаку сравнения, на основании правого неравенства в Значит, из сходимости ряда (3.9) следует сходимость ряда (3.10)

Примеры.

1. Рассмотрим ряд

и сравним его с рядом обратных квадратов (3.5).

Отношение

ограничено сверху числом 2. Поэтому из сходимости ряда обратных квадратов следует сходимость ряда (3.13).

2. Рассмотрим ряд

Составим отношения соответственных членов этого ряда и ряда (3.8):

Ввиду того, что при любом целом

ряд (3.14) ведет себя так же, как и ряд (3.8), т. е. должен расходиться.

3. Аналогично анализируется ряд

Составив отношения членов этого ряда и ряда (3.7), мы получаем

и так как

ряд (3.15) сходится подобно ряду (3.7).

Следствие. Если для рядов (3.9) и (3.10) отношение — стремится к некоторому положительному и конечному пределу

то ряды (3.9) и (3.10) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Соотношение (3.16) означает, что, начиная с некоторого места, все отношения вида будут достаточно близки к , в частности, будут находиться, скажем, между числами и . Интересующее нас утверждение получается непосредственной ссылкой на доказанную теорему.

Пример. Рассмотрим ряд

Возьмем в качестве вспомогательного гармонический ряд, составим соотношение

и вычислим его предел, пользуясь правилом «Попиталя (дифференцированием по см. § 6 главы 1):

Поэтому ряд (3.17) должен расходиться.

Следующий пример показывает, что признак сравнения, даваемый теоремой, существенно сильнее, чем признак в предельной форме, даваемый вытекающим из теоремы следствием.

Пример. Рассмотрим ряд

Отношение его члена к соответствующему члену гармонического ряда будет

Следовательно, отношение — ни к какому пределу не стремится, и признак в предельной форме здесь неприменим. Однако при всех значениях оно заключено между числами и 2. Поэтому ряд (3.18) ведет себя также, как гармонический ряд, т. е. расходится.

Из приведенных выше примеров сходящихся и расходящихся рядов можно усмотреть, что сходятся те ряды, у которых члены обнаруживают тенденцию к достаточно быстрому убыванию. (Последний оборот речи, осторожный и даже несколько громоздкий, употреблен намеренно: члены сходящегося ряда вовсе не обязаны убывать монотонно, как это, скажем, видно из последнего примера.) Поэтому сравнение скоростей убывания членов различных рядов может быть цоложено в оснозу особого признака сравнения.

Теорема 3 (третий признак сравнения). Если для двух рядов с положительными членами

и

начиная с некоторого

то из сходимости ряда (3.20) следует сходимость ряда (3.19), а из расходимости ряда (3.19) — расходимость ряда (3.20).

Доказательство. Из (3.21) следует, что

начиная с некоторого Это значит, что отношения начиная с этого составляют убывающую последовательность. Поэтому, полагая

мы из (3.22) получаем, что при

и требуемое следует из второго признака сравнения.