§ 3. Нормированные и ортогональные функции

Скалярным произведением векторов является сумма произведений их компонент.

Пусть — две функции, заданные на сегменте и непрерывные на нем. Интеграл от их произведения

по своей внешней форме сильно напоминает скалярное произведение (не следует забывать, что интегрирование является своеобразной разновидностью суммирования).

Поэтому все те понятия, которые определяются через скалярные произведения векторов, и все свойства векторов, которые выражаются через их скалярные произведения, можно попытаться распространить и на непрерывные функции, пользуясь вместо скалярных произведений интегралами вида (8.25).

Норма вектора (т. е. его длина) есть квадратный корень из скалярного произведения вектора самого на себя. Поэтому естественно ввести следующее определение.

Определение. Нормой функции на сегменте называется квадратный корень из интеграла

Если этот интеграл равен единице:

то функция называется нормированной на

Ортогональность векторов означает равенство нулю их скалярного произведения.

По аналогии введем определение ортогональности функций.

Определение. Функции называются ортогональными если