§ 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена

Для полноты изложения выведем формулу Тейлора для функций двух независимых переменных.

Теорема 1. Пусть функция имеет в некоторой области изменения переменных определенности мы можем представлять себе эту область в виде некоторого прямоугольника) непрерывные смешанные производные вида

а точка находится внутри этой области.

Тогда для любой точки из этой области имеет формула Тейлора

где остаточный член может быть записан в виде

причем 1 имеет вид — вид где

Доказательство. Положим

и рассмотрим при фиксированных и функцию

Она является функцией от одной независимой переменной При этом переменная зависит от сложным образом, через посредство линейных функций а также функции от двух переменных По условию функция дифференцируема по своим аргументам до раза включительно. Первые производные линейных функций постоянны (в нашем случае они равны соответственно и а все последующие производные тождественно обращаются в нуль. Поэтому теоремы о дифференцировании сложной функции показывают, что функция имеет непрерывные производные по до включительно и для

любого имеет место формула Тейлора

где

Правила дифференцирования сложной функции (13.51) дают нам

где все значения и ее производных, приведенные в формуле без указания аргумента, берутся в точке (Выражения для первых производных функции получаются непосредственно; выражение для производной произвольного порядка можно получить, рассуждая по индукции.) Подставляя эти выражения для производных в (13.52) и учитывая (13.50) и (13.51), мы непосредственно получаем (13.49).

Если функция от двух переменных имеет в некоторой области изменения непрерывные смешанные производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора (13.49) для любого значения Запишем ее в следующем виде:

Рассмотрим теперь двойной ряд

где и условно положено

Если в (13.53)

то двойной ряд (13.54) сходится и его суммой будет функ-ция

Определение. Представление функции от двух переменных в виде двойного ряда

называется разложением этой функции в двойной ряд Тейлора.

В частности, при разложение в двойной ряд Тейлора называется разложением в двойной ряд Маклорена:

Как и в случае простых рядов, если разложение функции в двойной ряд Тейлора возможно, то это разложение является единственным.

Теорема 2. Пусть двойной ряд

сходится в некоторой области к функции Тогда этот ряд является двойным рядом Тейлора функции т. е.

Для доказательства достаточно продифференцировать почленно частным образом ряд раз по х и

раз по у. Мы получим

Положив в этом тождестве мы получим (13.56).

Пример. Мы можем рассматривать как функцию от одной переменной Разложение ее в ряд Маклорена по этой переменной дает нам

Представим правую часть этого равенства в виде двойного ряда:

где, очевидно,

В силу единственности разложения функций в двойной ряд Тейлора должно быть

В том, что это действительно так, можно убедиться, выполняя непосредственно дифференцирование (для определенности мы полагаем

и далее, на основании формулы Лейбница для производных высших порядков от произведения, получаем

При это выражение равно своему первому члену. Если при этом то оно обращается в нуль, а если то оно равно и (13.59) дает нам сразу (13.58),