§ 8. Прогрессии с комплексными членами

Перепишем тождество (1.18) в третий раз, в несколько видоизмененной форме:

считая, что есть комплексное число, по модулю равное единице и отличное от —1, т. е.

Из равенства (1.25) двух комплексных чисел следует равенство их вещественных частей. Но согласно формуле Муавра при любом

и поэтому левая часть (1.23) есть

Следовательно, ее вещественная часть равна

Найдем теперь вещественную часть правой части (1.25). Подставим для этого в правую часть (1.25) вместо его выражение (1.26):

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, мы получим

Вещественная часть числителя этой разности равна

или (последние два слагаемых в скобках представляют собой косинус разности)

т. е., преобразуя сумму косинусов, получаем

Знаменатель дроби стал вещественным; он равен теперь

Следовательно, вещественная часть дроби равна

Приравнивая это (1.27), мы получаем

Проинтегрируем полученное тождество по от нуля до некоторого

или, вычисляя интегралы (кроме последнего),

Возьмем оставшийся интеграл по частям, полагая

Это дает нам

Но первое слагаемое в скобках ограничено ибо и поэтому Кроме того, учитывая, что убывает и принимает поэтому наименьшее свое значение при

Следовательно, и второе слагаемое в скобках ограничено.

Таким образом, интеграл в формуле (1.29) с ростом стремится к нулю:

Переходя в равенстве (1.29) к пределу при и учитывая только что установленное, мы получаем

Итак, оказывается, что не только степенями можно описывать функции, совершенно непохожие на полиномы, но и «бесконечной суммой» синусов кратных дуг (разумеется, если эти синусы берутся с нужными коэффициентами) можно совершенно точно описать линейную функцию, которая на первый взгляд не имеет с тригонометрическими функциями ничего общего.

Формула (1.30) получена нами для любого . Из нечетности функций, стоящих в обеих ее частях, следует, что она верна и при , т. е. для любого .

Заметим, что при все проведенные рассуждения перестают быть справедливыми. Более того, сама окончательная формула (1.30) становится при этом неверной; действительно, при все синусы в (1.30) обращаются в нуль, тогда как справа оказывается отличное от нуля число

Обратим, однако, внимание на то обстоятельство, что при левая часть (1.30) равна полусумме значений, которые правая часть принимает при и .

Как мы увидим далее (в главе 9), все перечисленные здесь факты являются проявлениями весьма общей закономерности.

Положим, наконец, в формуле Так как при

мы получаем

Этой формулой можно воспользоваться для приближенного вычисления числа , хотя необходимо признать, что такое вычисление не очень практично.

В сущности, в этой главе мы, работая с прогрессиями, познакомились в общих чертах со всеми основными идеями курса теории рядов. Все дальнейшее будет лишь обобщением, уточнением и разработкой уже сказанного.