Главная > Теория рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Прогрессии с комплексными членами

Перепишем тождество (1.18) в третий раз, в несколько видоизмененной форме:

считая, что есть комплексное число, по модулю равное единице и отличное от —1, т. е.

Из равенства (1.25) двух комплексных чисел следует равенство их вещественных частей. Но согласно формуле Муавра при любом

и поэтому левая часть (1.23) есть

Следовательно, ее вещественная часть равна

Найдем теперь вещественную часть правой части (1.25). Подставим для этого в правую часть (1.25) вместо его выражение (1.26):

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, мы получим

Вещественная часть числителя этой разности равна

или (последние два слагаемых в скобках представляют собой косинус разности)

т. е., преобразуя сумму косинусов, получаем

Знаменатель дроби стал вещественным; он равен теперь

Следовательно, вещественная часть дроби равна

Приравнивая это (1.27), мы получаем

Проинтегрируем полученное тождество по от нуля до некоторого

или, вычисляя интегралы (кроме последнего),

Возьмем оставшийся интеграл по частям, полагая

Это дает нам

Но первое слагаемое в скобках ограничено ибо и поэтому Кроме того, учитывая, что убывает и принимает поэтому наименьшее свое значение при

Следовательно, и второе слагаемое в скобках ограничено.

Таким образом, интеграл в формуле (1.29) с ростом стремится к нулю:

Переходя в равенстве (1.29) к пределу при и учитывая только что установленное, мы получаем

Итак, оказывается, что не только степенями можно описывать функции, совершенно непохожие на полиномы, но и «бесконечной суммой» синусов кратных дуг (разумеется, если эти синусы берутся с нужными коэффициентами) можно совершенно точно описать линейную функцию, которая на первый взгляд не имеет с тригонометрическими функциями ничего общего.

Формула (1.30) получена нами для любого . Из нечетности функций, стоящих в обеих ее частях, следует, что она верна и при , т. е. для любого .

Заметим, что при все проведенные рассуждения перестают быть справедливыми. Более того, сама окончательная формула (1.30) становится при этом неверной; действительно, при все синусы в (1.30) обращаются в нуль, тогда как справа оказывается отличное от нуля число

Обратим, однако, внимание на то обстоятельство, что при левая часть (1.30) равна полусумме значений, которые правая часть принимает при и .

Как мы увидим далее (в главе 9), все перечисленные здесь факты являются проявлениями весьма общей закономерности.

Положим, наконец, в формуле Так как при

мы получаем

Этой формулой можно воспользоваться для приближенного вычисления числа , хотя необходимо признать, что такое вычисление не очень практично.

В сущности, в этой главе мы, работая с прогрессиями, познакомились в общих чертах со всеми основными идеями курса теории рядов. Все дальнейшее будет лишь обобщением, уточнением и разработкой уже сказанного.

1
Оглавление
email@scask.ru