§ 10. Балка на упругом основании
Обратимся к конструкции, анализ которой провести описанным в § 4 приемом не удается.
Пусть рассматриваемая нами балка имеет кроме жестких опор по концам, препятствующих ее вертикальным смещениям в этих точках, еще упругое основание по всей ее длине, оказывающее сопротивление вертикальным смещениям каждой точки балки.
Рис. 39.
Упругость основания понимается в том смысле, что его реакция в каждой точке балки пропорциональна вертикальному смещению этой точки.
Действие упругого основания на балку можно отождествить с внешней распределенной нагрузкой, интенсивность которой пропорциональна функции прогиба.
Рассмотрим пример, отличающийся от приведенного в конце § 3 лишь наличием у балки упругого основания (рис. 39). Именно будем считать, что на балку действует поперечная нагрузка, равномерно распределенная от 0 до 
и отсутствующая между 
Эту нагрузку
обозначим через 
Распределенную нагрузку, являющуюся реакцией упругого основания, обозначим через 
Здесь по условию
(знак минус означает, что реактивная сила опоры направлена навстречу прогибу).
Далее, согласно (17.1) мы имеем
а ввиду (17.4) —
и, учитывая (17.59),
Вместе с (17.60) и (17.61) это дает нам
Наконец, вспоминая (см. (17.11)), что
так что
мы из (17.62) получаем
Это соотношение является дифференциальным уравнением изгиба балки, лежащей на упругом основании. Мы видим, что это дифференциальное уравнение — четвертого порядка. Воспользоваться им для непосредственной подстановки в него разложения функции прогиба в ряд Фурье мы не имеем права, как это видно из примера, приведенного еще в § 3. Читатель может убедиться в том, что присутствие в уравнении члена, описывающего действие на балку упругого основания, не спасает положения. Вместе с тем описанная в § 4 возможность ограничиться двукратным почленным дифференцированием ряда здесь
неприложима, так как в дифференциальном уравнении одновременно присутствуют как сама функция 
так и ее четвертая производная.
Из сказанного видно, что для решения дифференциального уравнения (17.63) при помощи ряда Фурье требуется изыскать другую возможность ограничиться не более чем трехкратным почленным дифференцированием ряда. Такая возможность открывается при рассмотрении потенциальной энергии изгиба. Заметим, что описываемый далее энергетический метод имеет весьма широкую область применения, выходящую за пределы теории изгиба балок.
