ГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ

Сила и роль математики заключаются не только в том, что она указывает пути к решению многих задач, но и в том, что она доказывает, что на этих путях мы действительно приходим к искомым решениям. Поэтому желательно, чтобы и при изучении математики не оставалось логических пробелов и каждая освоенная и применяемая теорема была бы снабжена доступным доказательством.

Данная глава начинается с доказательства теорем Дирихле и Фурье, сформулированных соответственно в § 2 главы 9 и в § 2 главы 11.

§ 1. «Вторая» теорема о среднем

Кроме хорошо известной в анализе теоремы о среднем (в данном курсе нам приходилось неоднократно пользоваться ею в главе 1), имеется еще и другая теорема аналогичного характера, которая называется «второй» теоремой о среднем.

Теорема 1 («вторая» теорема о среднем). Пусть и — интегрируемые на сегменте функции, причем функция кроме того, еще и монотонна. Тогда на найдется такая точка I, что

Предварительно докажем следующую лемму:

Лемма. Пусть

— произвольные числа,

Тогда

Доказательство. Положим

и применим преобразование Абеля (см. § 5 главы 12). Мы получим

Ввиду (16.2) все стоящие справа в скобках разности положительны. Значит, подставив вместо каждого число А, мы всю сумму на основании (16.3) уменьшим, а подставив число В — увеличим. Но это значит, что

что и требовалось.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Для определенности мы будем считать, что функция является невозрастающей. Это значит, что в точке она должна достигать своего наименьшего значения. Положим

Функция подобно функции на интегрируема и убывает, но к тому же еще и неотрицательна.

Рассмотрим теперь произвольное дробление сегмента точками:

положим

и найдем для каждого такое число что

(последнее можно сделать на основании первой теоремы о среднем).

Совершенно ясно, что

Поэтому, умножая каждое такое неравенство на неотрицательное число

и суммируя полученные неравенства по всем мы получим

Так как по условию функция интегрируема, при неограниченном дроблении сегмента крайние в этой формуле суммы сходятся к одному и тому же пределу, который есть интеграл

К этому же пределу должна сходиться и средняя часть (16.5). Но согласно (16.4) ее можно переписать как

Рассмотрим теперь интеграл с переменным верхним пределом

Очевидно, есть функция, заданная на сегменте и непрерывная на нем. Поэтому (на основании теоремы Вейерштрасса) достигает своих минимального и максимального значений, которые мы обозначим соответственно через А и В. Кроме того, будучи непрерывной функцией, принимает (в силу теоремы Коши) и все промежуточные значения между А и В.

Полагая

заметим, что

Мы видим, что находимся в условиях доказанной выше леммы, применение которой дает нам

При переходе к пределу сумма интегралов (16.7) сходится к интегралу (16.6), и мы получаем

Значит, можно положить

где и по замеченному выше найдется такое , что Таким образом, (16.8) переписывается как

Наконец, переход от функции к первоначальной функции дает нам

В качестве первого приложения доказанной «второй теоремы о среднем» установим следующий факт.

Теорема 2. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле и

— ее ряд Фурье, то

где М — некоторая положительная константа.

Доказательство. Пусть — один из сегментов, на котором функция монотонна и непрерывна. По второй теореме о среднем мы имеем

Разобьем теперь сегмент на конечное число частей в каждой из которых функция монотонна и непрерывна. Тогда, согласно только что доказанному, должно быть

Стоящая справа сумма состоит из конечного числа конечных слагаемых. Обозначив ее вместе с коэффициентом через М, мы получим требуемую оценку для Оценка для получается точно так же.

В дальнейшем нам будет нужна не столько сама вторая теорема о среднем, сколько полученная в ходе ее доказательства формула (16.9), справедливая для функции которая не только монотонно убывает, но и неотрицательна.