§ 5. Абсолютная сходимость двойных рядов

По любому двойному ряду можно составить двойной ряд из модулей членов исходного ряда.

Определение. Двойной ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится двойной ряд

Теорема. Абсолютно сходящийся ряд

сходится, т. е. имеет некоторую сумму Кроме того, для него существуют сумма по строкам и сумма по столбцам и все эти три суммы равны друг другу:

Доказательство. На основании теоремы об умножении двойного ряда на число и признака сравнения для двойных рядов мы можем точно так же, как это делалось

для простых рядов в § 2 главы 4, вывести из абсолютной сходимости ряда (13.32) его сходимость, т. е. существование его суммы

Обозначим через сумму двойного ряда модулей

Очевидно, при любом

следовательно, любая строка двойного ряда модулей сходится. Это значит, что сходится абсолютно (а потому и сходится) любая строка исходного двойного ряда. Таким образом, существуют все суммы

Далее,

Значит, сходится абсолютно, а тем самым и сходится, ряд, составленный из сумм по строкам. Пусть его сумма равна

Аналогично доказывается сходимость ряда по столбцам. Обозначим его сумму через Равенство (13.33) следует теперь из установленного существования сумм и на основании критерия сходимости из § 3.

В качестве приложения установленных фактов мы можем сразу получить новое, достаточно простое доказательство теоремы об умножении абсолютно сходящихся рядов, потребовавшей в § 5 главы 4 довольно обстоятельных рассмотрений.

Действительно, рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда:

и

Пусть частичными суммами этих рядов будут а суммами — соответственно и Положим

Очевидно, что

Из абсолютной сходимости рядов (13.34) и (13.35) следует существование пределов

Но это значит, что что двойной ряд

сходится абсолютно. Поэтому он и сходится. Обозначим его -частичную сумму через а его сумму через ст. Мы имеем

а это и требовалось.