§ 5. Теорема Фурье
Обратимся к доказательству теоремы Фурье, сформулированной в § 2 главы 11. Утверждение этой теоремы сводится к доказательству равенства (11.7)
при оговоренных в теореме условиях, которым должна удовлетворять функция 
Для дальнейшего введем обозначение
Начнем с того, что по условию теоремы Фурье функция 
должна быть абсолютно интегрируемой, т. е. должен
сходиться интеграл
Но при любых 
тождественно по 
Следовательно (более подробное рассуждение сильно напоминало бы доказательство признака равномерной сходимости Вейерштрасса из § 7 главы 5), при любых х и а абсолютно сходится интеграл
и сходимость эта равномерна в любом конечном интервале изменения а. Значит (см. теорему § 5 главы 5 о переходе к пределу под знаком интеграла), мы можем интегрировать этот интеграл по параметру в любых конечных пределах:
Внутренний интеграл справа вычисляется непосредственно. Вместе с (16.27) это дает нам
Разобьем теперь промежуток интегрирования на две части: от — 
до 0 и от 0 до 
Получим
Введем подстановку 
в первом интеграле и 
— во втором. Мы получим
Если бы верхние пределы в этих интегралах были конечными, то предельное поведение интегралов при 
определялось бы в соответствии с теоремой § 3: первый из интегралов в пределе был бы равен 
а второй 
Покажем, что наличие бесконечных пределов этой картины не изменяет. Для определенности мы займемся первым из интегралов в (16.28). Рассмотрение другого интеграла можно произвести совершенно так же.
Из абсолютной интегрируемости функции 
следует сходимость интеграла
и, так как при любых X и 
также сходимость интеграла
которая притом равномерна по 
Это значит, что по любому 
можно найти такое А, что при всех X
Далее, согласно сказанному в § 3, полагая 
при достаточно больших значениях К мы имеем
Комбинирование (16.29) и (16.30) дает нам, что
а это означает, что
Аналогично мы получаем, что
Тем самым, учитывая (16.28), имеем
и теорема Фурье доказана.
