§ 6. Преобразование рядов по Куммеру
Удобно вычислять значения сумм сходящихся рядов, используя следующее простое соображение. Для нахождения суммы ряда можно заменить его другим рядом с известной суммой, а затем суммировать только «поправки».
Если эти поправки быстро убывают, то и составленный из них ряд будет сходиться достаточно быстро. На этом соображении основано преобразование рядов, предложенное Куммером.
Теорема. Если 
— сходящиеся ряды, причем 
при любом 
и, в частности, при 
Доказательство очевидно:
Если в условиях этой теоремы 
то
так что стоящий в средней части (14.33) ряд сходится принципиально быстрее, чем исходный ряд.
Примеры.
1. Для ряда 
составим вспомогательный ряд с известной суммой:
Здесь 
Поэтому
Если удержать в преобразованном ряде, скажем, 9 членов, то погрешность можно оценить как
т. е. она окажется более чем в 100 раз меньше погрешности, полученной при удержании того же числа членов в исходном ряде.
2. Для ряда 
тем же вспомогательным рядом «обратных квадратов». Ввиду того, что 
мы будем иметь
Как нетрудно оценить, появляющийся при членах ряда коэффициент убывает примерно как 
