§ 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам

Рассмотрим случай, когда балка с опорами в точках жестко заделана по концам (рис. 42). Формально это значит, что для функции прогиба балки имеют место соотношения

Балку с так устроенными опорами можно, подобно тому как это делалось в § 8, исследовать как статически неопределимую систему, т. е. представить ее как свободно опертую балку с той же нагрузкой, но к которой по концам приложены дополнительно моменты пока неизвестные. Величина этих моментов определяется так, чтобы они в соответствии с уравнениями (17.92)

компенсировали «до нуля» углы поворота от внешней нагрузки в точках

Однако в том случае, когда нагрузка балки оказывается симметричной относительно ее середины, более эффективен другой метод.

Симметричность нагрузки балки относительно ее середины состоит в том, что каждой силе, приложенной к балке соответствует равная ей по величине и совпадающая по направлению сила, приложенная в точке а каждому моменту, приложенному в точке — равный ему по величине и противоположный по направлению момент, приложенный в точке Если для удобства перенести начало координат в середину балки, то, как и в аналогичном случае, разобранном в § 3, из следствия теоремы § 8 главы 9 и выражения (17.3) для изгибающего момента в сечении балки следует, что а потому суть четные функции от Иначе говоря, это означает, что и суть функции, симметричные относительно

Рис. 42.

Рис. 43.

Для исследования изгиба таких балок найдем, в соответствии со сказанным в § 13, систему функций

которые

1) были бы симметричны относительно

2) удовлетворяли бы условиям (17.91) и (17.92):

3) вторые производные которых были бы попарно ортогональны на сегменте

В качестве такой системы функций можно взять систему

Для этих функций мы имеем

То, что для них выполняются условия (17.94), (17.95) и (17.96), видно непосредственно.

Покажем, что всякую функцию прогиба удовлетворяющую условиям (17.91) и (17.92), можно разложить по таким функциям в ряд:

Действительно, составим разложение функции в промежутке в ряд Фурье по косинусам:

Так как вторая производная функции прогиба пропорциональна изгибающему моменту, она, очевидно, должна быть интегрируемой и ограниченной. Следовательно, по теореме § 5 главы 16, стоящей в (17.100) справа, ряд сходится при всех х равномерно и абсолютно. Поэтому мы можем написать

При левая часть этого равенства и все разности справа обращаются в нуль, и мы имеем

Нам остается положить

После сказанного исследование изгиба симметрично загруженных балок с жестко заделанными концами проводится стандартным образом по схеме, описанной в §§ 13 и 14.