§ 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.

Теорема. Пусть даны два абсолютно сходящихся ряда: ряд

с частичными суммами и суммой и ряд

с частичными суммами и суммой

Тогда ряд, членами которого являются все произведения любого члена первого ряда на любой член второго, также сходится абсолютно и сумма его равна произведению

Доказательство. Будем выписывать произведения по определенной системе:

(стоящие в каждой строке слагаемые соответствуют последовательным «окаймлениям» квадратов на рис. 1). В первой строке здесь выписан один член, во второй — три члена, в третьей —5 и т. д. Очевидно, частичная сумма этого ряда состоит из слагаемых, составляющих на рис. 1 квадрат. Ясно, что пока мы не доказали абсолютной сходимости ряда (4.29), наши рассуждения относятся не к любому ряду, члены которого являются произведениями членов рядов (4.27) и (4.28), а лишь к конкретному ряду (4.29).

Рис. 1.

Мы видим, что При переходе к пределу при правая часть этого равенства стремится по

условию к Следовательно, и

К сожалению,

составляют лишь частичную последовательность частичных сумм ряда-произведения (4.29). Поэтому из полученного предельного соотношения еще не следует нужного нам

Для получения этого результата нам придется еще показать, что для достаточно больших квадратов любые суммы чисел, стоящих в окаймлениях этих квадратов, сколь угодно малы.

Пусть теперь — некоторое натуральное число, а ближайший к нему снизу квадрат. Положим

где — сумма некоторого количества членов ряда (4.29), стоящих в окаймлении квадрата, т. е. в строке выражения (4.29).

Абсолютная сходимость рядов (4.27) и (4.28) означает сходимость рядов

и

Пусть и — соответственно суммы этих рядов.

Из сходимости рядов (4.30) и (4.31) следует, что

откуда

так что

Следовательно, ряд (4.29) сходится, и сумма его равна .

Переходя от (4.27) и (4.28) к рядам (4.30) и (4.31) и повторяя применительно к ним те же рассуждения, мы видим, что ряд (4.29) сходится абсолютно и сумма абсолютных величин его членов равна

Нам остается заметить, что на основании теоремы о перестановке членов абсолютно сходящихся рядов сходимость интересующего нас ряда, равно как и его сумма, не зависит от того конкретного порядка, в каком мы выписывали его члены.

В частности, иногда бывает удобно (см., например, § 4 главы 7) объединять произведения членов перемножаемых рядов в группы с постоянными суммами индексов:

Такая схема перечисления членов произведения рядов иногда называется их перемножением «по Коши».