§ 2. Теорема Абеля

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема Абеля. Если степенной ряд

сходится при некотором то он сходится абсолютно при всех значениях для которых

Наоборот, если ряд (6.3) расходится при то он расходится при всех значениях для которых

Доказательство. Предположим сначала, что числовой ряд

сходится. В этом случае, как было установлено ранее (см. § 6 главы 2)

Тем более, члены этого ряда ограничены, т. е. найдется такое К, что при любом номере

Пусть теперь (тем самым мы предполагаем, что Тогда

Мы имеем

Это значит, что при члены ряда

начиная с некоторого места, становятся меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

в которой знаменатель меньше единицы. Так как такая прогрессия сходится, ряд (6.4) также должен сходиться. Но это означает, что ряд

сходится абсолютно.

Предположим теперь, что ряд

расходится. Будем доказывать вторую часть теоремы от противного. Возьмем некоторое для которого и допустим, что ряд

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, согласно первой части теоремы, должен сходиться И ряд (6.5), что противоречит предположенному.