§ 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок

Обозначим через потенциальную энергию изгиба балки от нагрузки Согласно (17.70) мы можем написать

Пусть, как и в § 2, к балке приложены две нагрузки и причем имеет место соотношение (17.1):

В § 2 мы видели, что если балка закреплена, т. е. не может перемещаться, как твердое тело, то из (17.72) должно следовать

Далее, применяя формулу (17.71) для трех нагрузок: и мы имеем

Потенциальная энергия изгиба численно равна работе внешних нагрузок и совершаемой ими в результате смещений точек балки, к которым эти нагрузки приложены. С этой точки зрения каждое из трех слагаемых, стоящих в (17.74) справа, имеет свой механический смысл. Пусть сначала на балку действует одна лишь нагрузка Тогда потенциальная энергия изгиба балки есть и равна работе совершаемой усилиями из Приложим теперь к балке дополнительную нагрузку Составляющие ее усилия совершат работу равную но, кроме того, точки приложения усилий из будут под воздействием «подаваться»; усилия из на этих перемещениях произведут работу, которую мы обозначим через и которая будет равна

Заметим, что если вторые производные являются ортогональными (см. § 3 главы 8) функциями, то интеграл в правой части (17.75) обращается в нуль. Это простое соображение будет иметь для нас далее решающее значение.

Пусть теперь к балке приложены нагрузка и пропорциональная численному параметру а нагрузка причем для любого (или хотя бы для любого достаточно

малого по абсолютной величине) а выполняется равенство, аналогичное (17.72):

и потому

Потенциальная энергия изгиба балки, находящейся под нагрузкой равно как и работа составляющих эту нагрузку усилий, зависит от а. Обозначим потому их соответственно через и . В частности, очевидно, что

Поскольку мы рассматриваем условия, в которых вся работа внешних сил переходит в потенциальную энергию изгиба, должно быть

тождественно по а.

С учетом (17.76) формула (17.75) может быть записана как

Это равенство справедливо тождественно при всех а. Поэтому его можно продифференцировать по а и положить Ввиду (17.77) мы получим

Если выразить через функцию прогиба и параметр нагрузки а (а также, разумеется, и через остальные параметры задачи), мы получим требуемое соотношение, в которое надлежит подставлять вместо функции прогиба ее разложение в ряд Фурье. По сравнению с уравнением изгиба балки (17.8) мы сейчас, используя соотношение (17.72), получаем (кроме значительной общности рассуждений) то нужное нам преимущество, что должны требовать не четырехкратной почленной дифференцируемости рядов, а только двукратной.