§ 2. Область сходимости функционального ряда

Придавая в выражении (5.1) переменной х некоторые значения мы будем получать те или иные числовые ряды

В зависимости от значения, принимаемого переменной числовой ряд (5.2) может оказаться сходящимся или расходящимся.

Определение. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд (5.2) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (5.1).

Если значение переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда

то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной х, т. е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной Это и отражено в обозначении Подчеркнем, что областью задания суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда.

Сумма функционального ряда, понимаемая как функция, в принципе ничем не отличается от функций, получаемых каким-нибудь другим путем. В частности, можно ставить и решать вопросы о ее непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т. д. Можно интересоваться также тем, какие функции можно получать в виде сумм функциональных рядов и как находить ряды, у которых суммами были бы заданные функции. Изучение этих и подобных вопросов и составляет содержание почти всей оставшейся части курса.

Примеры.

при каждом х представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем Условие сходимости этого ряда состоит в том, чтобы Таким образом, область сходимости ряда (5.3) состоит из всех тех значений переменной х, для которых

как было установлено в § 2 главы 2, сходится при и расходится при 1. Следовательно, область сходимости этого ряда состоит из всех значений х, для которых или, короче, область сходимости этого ряда описывается неравенством 1.

3. Члены функционального ряда

при любом х меньше соответствующих членов ряда «обратных квадратов»

Так как последний ряд сходится, должен сходиться и ряд (5.4) при любом х. Таким образом, областью сходимости ряда (5.4) является множество всех вещественных чисел.

4. В ряде

при любом отношение последующего члена к предыдущему равно

и, очевидно, при возрастании стремится к нулю. Следовательно, согласно признаку сходимости Даламбера ряд

при любом является сходящимся. Таким образом, область сходимости функционального ряда (5.5) состоит из всех вещественных чисел.

5. Функциональный ряд

при любом значении расходится (это проверяется без труда при помощи признака Даламбера). Следовательно, область сходимости этого ряда исчерпывается числом 0.

6. Рассмотрим ряд

Так как члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда, начиная с третьего:

который расходится. Следовательно, ряд (5.6) не сходится ни при каком значении х. Можно сказать, что область сходимости этого ряда пуста.