§ 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей

Из сказанного выше видно, что скорость сходимости рядов Фурье к соответствующим функциям существенно зависит от степени гладкости этих функций, т. е. от существования во всем интервале разложения производных вплоть до достаточно высоких порядков. Если же функция имеет разрывы, то сходимость к ней ее ряда Фурье (имеющая место, если функция удовлетворяет условиям Дирихле) в силу § 8 главы 5 не может быть даже

равномерной, и вопрос о скорости сходимости вообще становится несколько беспредметным.

Тем не менее и в теории и на практике приходится заменять недостаточно гладкие функции и, что еще хуже, — их производные, частичными суммами их рядов Фурье, причем желательно, чтобы погрешность от такой замены была незначительной, даже при удержании в сумме малого числа членов. Это может быть достигнуто в результате улучшения сходимости рядов Фурье, которое принадлежит А. Н. Крылову и несколько напоминает преобразование числовых рядов по Куммеру (см. § 6 главы 14). Предложенное Крыловым улучшение сходимости рядов Фурье состоит в: 1) в выделении из функции некоторой части, которая в силу еврей негладкости плохо влияет на сходимость ряда Фурье, но зато удобно представляется в некотором замкнутом виде и 2) в суммировании оставшейся, хорошо сходящейся части.

Формально эта задача ставится следующим образом: требуется представить функцию в виде суммы где функция имеет замкнутый аналитический вид, а является достаточно гладкой и потому разлагается в быстро сходящийся ряд Фурье. Ясно, что при этом функции и Ф имеют одни и те же нарушения гладкости, которой обладает функция Иногда точки нарушения гладкости функции называются ее особенностями, а весь описываемый здесь метод — методом выделения особенностей.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.

Пример. Возьмем полученное нами в § 13 главы 9 разложение в ряд Фурье функции

Функция рассматриваемая, как -периодическая, является разрывной: в точке она имеет скачок, величина которого равна Скачок величины имеет в этой же точке и каждая ее производная.

Подставим задачу улучшить сходимость ряда Фурье этой функции настолько, чтобы фактически пришлось суммировать лишь ряд члены которого убывают как обратные кубы. В соответствии со сказанным выше для этого следует найти такую функцию что разность вместе со своей производной были бы непрерывны. Ясно, что в качестве функции можно взять квадратичный трехчлен

от которого потребуем, во-первых, больше для удобства

а затем —

Отсюда непосредственно следует, что

Согласно формулам (9.15) и (9.21) разложением функции в ряд Фурье будет

так что

или, окончательно

Несколько особый вид приобретает решаемая нами задача, если в качестве исходного материала задана не сама функция а ее разложение в ряд Фурье, причем: каждый коэффициент разложения представлен в виде функции от своего номера . В этом случае следует представить коэффициенты ряда в виде (16.39), (16.40), а затем объединять слагаемые с малыми степенями в знаменателе в самостоятельные ряды и пытаться находить в явном аналитическом виде их суммы.

Пример. Рассмотрим ряд Фурье

и поставим задачу свести его суммирование к вычислению некоторых простых функций и суммирования ряда Фурье, коэффициенты которого убывают как обратные пятые степени номера

Для представления коэффициента

в виде (16.40) разложим дробь по обратным степеням (подобные разложения уже встречались нам в §§ 2 и 3 главы 12), и требуемое представление приобретает вид

Таким образом,

Как было обнаружено в примере из § 6 главы 9, для

так что суммой первого из рядов в (16.41) является

Вычисление суммы второго ряда также несложно и может быть выполнено различными способами. Например, запишем формулу (9.21) в виде

а формулу (9.23) - в виде

и, умножив второе из равенств на 2, прибавим к первому. Мы получим

Стоящий справа ряд по признаку Вейерштрасса сходится равномерно. Поэтому его можно почленно интегрировать, и это интегрирование

Постоянная С может быть здесь определена из того условия, что при сумма ряда обращается в нуль. Следовательно, и .

В результате мы окончательно имеем