§ 3. Круг сходимости ряда

Теперь мы можем достаточно точно описать области сходимости степенных рядов.

Рассмотрим все значения при которых степенной

расходится. Пусть такие числа существуют, а — точная нижняя граница модулей этих чисел (иными словами, число таково, что для любого для которого ряд (6.6) уже сходится; такое число существует, потому что всякая убывающая последовательность модулей ограничена снизу (нулем)). Тогда по доказанному в § 2 при ряд (6.6) расходится, а по определению числа при ряд (6.6) сходится.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число что при ряд

сходится, а при расходится.

Множество всех комплексных чисел, для которых образует на плоскости комплексных чисел круг радиуса с центром в точке 0. Этот круг называется кругом сходимости данного ряда.

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости.

Заметим, что, говоря о круге сходимости ряда, мы имеем в виду сходимость ряда для всех точек внутри круга и расходимость его для всех точек, лежащих вне круга. Вопрос же о поведении ряда для тех значений которые лежат на самой окружности, является значительно более деликатным, и ответ на него обычно связан с более или менее сложным анализом индивидуальных свойств конкретного ряда.

Пример. Рассмотрим ряд

При мы получаем гармонический ряд

который расходится. Следовательно, по второй части теоремы Абеля радиус сходимости этого ряда не превосходит единицы:

С другой стороны, при мы из (6.7) получаем знакопеременный ряд

который сходится. Следовательно, по первой части теоремы Абеля радиус сходимости ряда (6.7) не меньше единицы:

Объединяя сказанное, мы получаем, что радиус сходимости ряда (6.7) равен единице: .

Нам остается выяснить сходимость ряда (6.7) на самом круге сходимости, т. е. для тех значений для которых

Возьмем такое и представим его в тригонометрической форме:

Ряд (6.7) при этом приобретает вид

Как было обнаружено в § 7 главы 1 при помощи довольно специфических вычислений, ряд

при всех сходится и имеет суммой (см. формулу (1.27)). В силу аналогичных соображений при всех — сходится и ряд

и тем самым ряд (6.7).

Таким образом, интересующий нас ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости, за исключением точки .

Круг сходимости степенного ряда может состоять из единственной нулевой точки (в этом случае радиус сходимости ряда равен нулю) или, напротив, охватывает всю плоскость комплексного переменного (в этом случае принято говорить, что радиус сходимости ряда бесконечен).

Примеры.

1. При любом ряд

рссходится (см. пример 5 § 2 главы 5). Следовательно, радиус сходимости этого ряда равен нулю.

2. При любом ряд

сходится (см. пример 4 § 2 главы 5). Следовательно, радиус сходимости этого ряда можно принять равным бесконечности.