§ 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов

Знание суммы равномерно сходящегося в некотором промежутке функционального ряда позволяет, переходя к производным или к первообразным его членов, находить суммы других рядов. Этим приемом мы несколько раз пользовались в главах 1 и 7. К сожалению, мы не всегда можем воспользоваться им при вычислении сумм функциональных рядов на границе области их сходимости. Следующие рассуждения открывают в этом направлении достаточно широкие перспективы.

Приведем сначала для полноты изложения модификации принципа сходимости Коши и критерия Коши сходимости рядов (см.§§ 4 и 5 главы 2) для случая равномерной сходимости.

Теорема (принцип сходимости). Если

— некоторая последовательность функций, то для того, чтобы она равномерно в области сходилась к предельной функции необходимо и достаточно, чтобы по каждому нашлось такое что для любого тО и для всех имело бы место

Теорема (критерий сходимости). Для того чтобы функциональный ряд

сходился равномерно в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных

сумм обладала следующим свойством: каково бы ни было существует такое что при любом всех имеет место

Доказательства этих теорем отличаются от доказательств соответствующих утверждений о сходимости числовых последовательностей и рядов лишь тем, что вместо чисел рассматриваются функции а каждый словесный оборот «найдется такое , что...» заменяется оборотом «найдется такое что для всех Установим теперь следующий более конкретный факт. Теорема. Если вещественный ряд

сходится, то степенной ряд

сходится равномерно на сегменте

Доказательство. Сходимость ряда (14.8) согласно критерию Коши означает, что по любому найдется такое что для всех выполняется неравенство

Кроме того, при любом

Таким образом, мы оказываемся в условиях леммы из § 5 главы 12, оценивающей в данном случае частичные суммы ряда

т. е. ряда

Эта лемма дает нам

Поскольку эта оценка является равномерной по х, сформулированный выше критерий сходимости Коши утверждает требуемую равномерную сходимость ряда (14.9) на сегменте

Теорема Абеля. Если вещественный степенной ряд

имеет радиус сходимости причем сходится (не обязательноабсолютно) и при то сходимость будет равномерной на всем сегменте а сумма ряда — непрерывной слева в точке функцией, т. е.

Симметричное утверждение имеет место в случае сходимости ряда (14.10) при

Доказательство. По предыдущей теореме ряд (14.10) сходится на сегменте равномерно. Тогда в соответствии с теоремой § 8 главы 5 (или с теоремой 2 § 5 главы 6) его сумма является непрерывной функцией от х на всем сегменте , в частности, имеет место (14.11).

Примеры.

1. В § 8 главы 7 нами было установлено (формула (7.20)), что при

Стоящий здесь справа ряд при сходится (на основании признака сходимости Лейбница). Поэтому согласно доказанной теореме (и, разумеется, ввиду непрерывности арктангенса) действительно

2. В § 11 главы 7 было для получено разложение

Так как написанный ряд сходится и при по теореме Абеля (и на основании непрерывности логарифма) мы имеем

3. Напишем разложение справедливое для Интегрируя его почленно от 0 до некоторого мы получим

Стоящий справа ряд сходится и при а стоящий слева интеграл является непрерывной функцией своего верхнего предела. Это дает нам возможность вычислить сумму ряда

Разложение подынтегральной функции из (14.12) на простейшие дроби дает нам

или, после преобразования последнего слагаемого,

откуда, наконец,

и, полагая , получаем