§ 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье

Далее мы будем говорить, что функция имеет период если для любого х

не предполагая при этом, что Т является наименьшим из всех чисел, обладающих этим свойством.

Все тригонометрические функции вида

определены для любого вещественного значения х и являются периодическими. Период каждой из них равен Следовательно, и любая их сумма вместе с постоянным членом

также определена для любого вещественного х и имеет период Очевидно, это свойство периодичности

сохраняется и при переходе к пределу, так что сумма любого сходящегося тригонометрического ряда

также имеет период

Таким образом, получается следующая картина. Первоначально мы имели некоторую функцию (удовлетворяющую условиям Дирихле), заданную на сегменте . Составив ее тригонометрический ряд Фурье, мы получим в качестве его суммы функцию, которая определена уже не только на сегменте , но и для всех остальных вещественных значений х. При этом на сегменте сумма описывает функцию

Значениями функции лежащими вне сегмента , мы пока просто не интересовались; в частности, мы тем самым допускали, что эта функция вне сегмента могла быть и не определена. Предположим, однако, что функция определена для всех х, а мы лишь ограничились ее рассмотрением на сегменте и составили применительно к этим значениям сумму ее тригонометрического ряда Фурье Эта сумма, будучи периодической функцией, будет описывать функцию вне сегмента в том и только в том случае, когда сама функция является периодической с периодом в точках своей непрерывности, т. е. когда для любой точки непрерывности х функции

Наоборот, если функция этим свойством не обладает, то вне сегмента она может не иметь с функцией ничего общего.

Итак, если функция периодическая с периодом то ее тригонометрический ряд Фурье описывает ее всюду. В противном случае он описывает ее лишь на сегменте . Разумеется, слово «описание» следует понимать в том смысле, как это сформулировано в теореме Дирихле,